Freitag, 18. August 2017

Realitätsnahe Aufgaben IV

Bevor wir wieder einige besonders gelungene Beispiele dafür geben, wie man SuSen (Schüler und Schülerinnen, oder vermutlich Schüler*innen, damit die Kinder nicht in ein Geschlechtsschema gepresst werden und sich nicht schon mit 15 entscheiden müssen, ob sie gerade lieber Jungs oder Mädchen sind - ich frage mich jetzt schon, wie die Leute, die den Eintrag des biologischen Geschlechts in Ausweisen abschaffen wollen, sich später über den sogenannten gender pay gap aufregen wollen, den es nach der Abschaffung von Mann und Frau ja nicht mehr geben wird. Oder wird dann das finanzielle Geschlecht eingeführt? Aber auf welche Toilette sollen dann finanzielle Frauen gehen?) heutzutage von der Nützlichkeit der Mathematik überzeugt, erinnern wir die älteren Leser daran, wie man das früher gemacht hat.

Ich halte mich heute an das Schulbuch Analysis 1 von Kurt Degen aus dem Jahre 1977. Damals hat man im Mathematikunterricht begonnen, die Analysis so sauber wie möglich darzustellen. Bevor es also in diesem Buch für Klasse 11 (und die Grundkurse in der Oberstufe) mit der Differentialrechnung losging, hat man etwas mehr als 100 Seiten für das Rechnen mit reellen Zahlen (Vollständigkeit, Beschränkheit, Intervalle, Umgebungen), vollständige Induktion (samt Binomialsatz), reelle Funktionen (surjektive, injektive, bijektive Abbildungen, Umkehrfunktion, Folgen (beschränkte, monotone, arithmetische und geometrische) und Grenzwerte (einschließlich des Begriffs der Stetigkeit von Funktionen) behandelt. Davon ist heute nichts mehr (in Worten: nichts mehr) Schulstoff.

Auch die Ableitung wurde sauber definiert und nicht nur die Ableitungsregeln bewiesen (sogar für rationale Exponenten - heute wird die Ableitung von f(x) = x2 und von f(x) =  xplausibel gemacht und dann stillschweigend so getan, als gelte alles automatisch für beliebige Exponenten), sondern auch die Mittelwertsätze und der Satz von Rolle diskutiert, was für die saubere Begründung von Monotonie- und Extremwertfragen unabdingbar ist. Im Kapitel 9 ging es dann um Anwendungen der Differentialrechnung.

9.1. Anwendungen in der Mathematik dreht sich um Extremwertprobleme. Am Schluss folgen 6 Seiten Aufgaben zu Extremwertaufgaben ohne ein einziges Bild.

9.2. Anwendungen in der Physik: Hier wird Geschwindigkeit und Beschleunigung
bei geradlinigen Bewegungen besprochen (und zwar anständig, und nicht so wie heute, wo es lapidar heißt, das Fallen eines Steins werde durch die Funktion s(t) = 5t2 beschrieben). Danach kommen harmonische Schwingungen und der Wechselstromkreis.

9.3. Anwendungen in der Wirtschaftstheorie, wo Elastizität von Angebot und Nachfrage, Produktions- und Grenzkosten, sowie Grenzerlös und Grenzgewinn besprochen werden.

Nach der Entwicklung der Integralrechnung (ohne irgendwelche Hinweise auf die ach so wichtige Rekonstruktion von Bestandsfunktionen) geht es weiter:

11.6. Arbeit und Energie (beschleunigte Bewegung, Federn, Kondensator, Magnetfeld einer Spule), sowie Konsumenten- und Produzentenrente in der Wirtschaft.

Nach der Einführung von natürlichem Logarithmus und der Exponentialfunktion folgen dann der radioaktive Zerfall, Stromverlauf beim Ein- und Ausschalten eines Gleichstromkreislaufs, Energiemaximum im Spektrum eines strahlenden schwarzen Körpers, und die barometrische Höhenformel.

Das war, wie gesagt, das Buch für damalige Grundkurse. Wenn man sich das in Ruhe ansieht, wird man zugeben müssen, dass die Abschaffer der Mathematik unter den Didaktikern von Heymann bis Herget ganze Arbeit geleistet haben.  Die Mathematik ist inzwischen ganz verschwunden; Ableitungsregeln können mangels Definitionen gar nicht bewiesen werden, und im Falle etwa von trigonometrischen Funktionen wird heute ungeniert auf die Formelsammlung verwiesen: man kann das auch einen Beweis durch Autoriät nennen.

Was die Anwendungen in Physik und Wirtschaft betrifft, sind sie alle verschwunden. Das gilt sogar für die Aufgaben zur Gewinnmaximierung, die heute von einer Qualität sind, dass man weinen möchte: Man lässt nur noch eine Kostenfunktion vom Himmel fallen, von der man die Einnahmen abzzuziehen und dann den Gewinn zu maximieren hat. Was man bei solchen Aufgaben lernt, ist mir ein Rätsel.

Ein Beispiel aus der Landwirtschaft, das wie alle andern Aufgaben hier aus dem Lambacher-Schweizer für die Kursstufe seit 2004 stammt, ist die folgende:



Die optimale Düngerzugabe ist offenbar diejenige, die den Ertrag maximiert. Qualität spielt keine Rolle, ebensowenig wie die Nitratbelastung der Böden. Die Einheiten stehen zwar dabei, spielen aber bei der Lösung des Problems keine Rolle. Schlimmer noch: welcher Schüler ist in der Lage, die korrekte Einheit der Konstanten 13500 und c in der Formel anzugeben? Wie kann man Schülern in der Physik die Bedeutung der Einheiten klarmachen (gab es früher auch schon Schüler, die als Antwort eine Geschwindigkeit von 50 kg angegeben haben?), wenn in der Mathematik damit Schindluder getrieben wird? Die Ertragsfunktion fällt selbstverständlich vom Himmel - das haben moderne Modellierungsaufgaben so an sich.

Die echten Physikaufgaben aus den Schulbüchern der 70er und 80er Jahre sind inzwischen zu 100% ersetzt worden durch hanebüchene und vollkommen belanglose Aufgaben, die nur noch den Anschein erwecken, als hätten sie etwas mit Physik zu tun, und die alles mögliche zeigen, nur nicht, dass Mathematik eine nützliche und zum Studium der Physik notwendige Wissenschaft ist. Die folgenden Beispiele lassen sich beliebig vermehren, und es sind noch nicht einmal die schlimmsten.

Beginnen wir mit einer belanglosen Aufgabe:


Ein durchhängendes Seil haben alle Schüler schon einmal gesehen, die Aufgabe entstammt also ihrer Lebenswelt.

  • Welchen Sinn hat sie? Ich wüsste keinen. 
  • Was lernt man über Physik oder Mathematik? Im besten Falle nichts.
  • Welches Problem wird mit der Modellierung gelöst? Keines.
Die Wahl des Koordinatensystems hat der Aufgabensteller erledigt, ohne dass dafür auch nur eine Silbe verschwendet wird; warum die Modellierung durch Parabeln schlechter ist als durch die Kettenlinie, wird nicht erklärt, es wird nicht eimal der Begriff der Kettenlinie erwähnt. Auch auf welcher Grundlage man hier was modelliert hat, bleibt völlig unklar: weder die Endpunkte, an denen das Seil befestigt ist, noch die minimale Höhe oder sonst irgendein physikalischer Begriff, der hier von Bedeutung sein könnte, ist allen Funktionen der Schar gemein. 

Das nächste Beispiel:


Auch hier fällt die Funktionenschar vom Himmel. Die 2 ist dimensionslos, x wird in m/s gemessen und die Einheit von x2/v2 ist s2. Addiert man diese Größen, kommen Meter heraus. Natürlich könnte man wenigstens nach der Verifizierung fragen, dass der Abwurfwinkel 45und die Abwurfgeschwindigkeit v ist, aber das wäre zu viel Physik. Wenn man die Einkleidung nicht ernst nimmt, warum benutzt man sie dann und fragt nicht einfach nach der Ortskurve der Hochpunkte? Natürlich, um die SuSen von der Nützlichkeit der Mathematik zu überzeugen. Welche Bedeutung hat die Ortskurve für das physikalische Problem des schiefen Wurfs? Das ist nicht so wichtig.

Damit kommen wir zur Energie.

Dass die Einheiten wie immer irgendwie zusammengepfriemelt sind: geschenkt. Dass die Frage nach dem minimalen Energieverbauch  des Vogels nicht dem Energieverbrauch des Vogels gilt, sondern dem Energieverbauch pro Gramm Körpergewicht und pro geflogenem Kilometer: auch geschenkt (selbstverständlich braucht man zur Lösung der Aufgabe nicht zu wissen, was Energie, Masse oder Geschwindigkeit ist). Die Formel für E(v) fällt, ebenfalls wie immer, einmal mehr vom Himmel. Allerdings nicht ganz, denn anscheinend beruht die Aufgabe auf diesem Artikel aus der Zeit. Der Aufgabensteller hat also die 35 km/h, bei welcher der Energieverbrauch pro Gramm und Zeiteinheit minimal ist, hergenommen und daraus eine Funktion gebastelt (diejenige im Zähler von E(v): im Originalartikel wurde denn auch die Leistung bestimmt, also der Energieverbrauch pro Zeiteinheit), die er durch die Geschwindigkeit dividiert hat, damit die Lösung nicht offensichtlich ist und man den GTR braucht, um das Minimum zu bestimmen.

Wer wissen möchte, wie es in Tuckers Arbeiten zu diesem Thema wirklich zugeht, kann einen Blick in diesen hier werfen, der von der Karikatur im LS aber meilenweit entfernt ist. Wer sich dafür näher interessiert, mag sich das Buch The Simple Science of Flight: From Insects to Jumbo Jets von Hendrik Tennekes anschauen.

Zum Abschluss die Krönung aller physikalischen Aufgaben aus dem LS. Was mit Vögeln geht, kann man mit Fischen sicherlich auch machen:

Wie man dieser Formel Einheiten geben kann, vermag ich nicht zu sagen. Die Einheit des Zählers xk hängt von k ab, während c eine Konstante ist; wie soll man da auf die Einheit Joule auf der linken Seite kommen? Das geht wohl nur, wenn c keine Konstante, sondern eine Funktion von k ist. Die größten Probleme mit solchen Aufgaben haben vermutlich diejenigen Schüler, die a) lesen können und b) ein bisschen Physik verstehen.

Von den Aufgabenstellern kann man das nicht behaupten. Vögel haben ihren geringsten Energieverbrauch bei einer positiven Fluggeschwindigkeit, weil sie vom Himmel fallen, wenn sie zu langsam fliegen. Fische dagegen verbrauchen am wenigsten Energie, wenn sie gar nichts tun außer zu atmen, also bei einer Geschwindigkeit von 0 m/s. Der Energieverbrauch hängt sicherlich vom Widerstand des Fischs im Wasser ab, der in der Tat zwischen v2   und v3  liegen sollte (Physiker bezeichnen die Geschwindigkeit selten mit x). Allerdings braucht man zum Bestimmen des Minimums einer Funktion der Form f(x) = c xkeine Ableitung, also muss man die Funktion so abändern, dass sie diesem Anspruch genügt. Das ist einfach: man braucht die Funktion nur durch x-2 zu teilen.

Weil c>0 ist, muss die Geschwindigkeit des Fischs x > 2 (also vermutlich größer als 2m/s) sein. Sollte der Fisch doch mal langsamer schwimmen, gibt er Energie ab, und die Energieprobleme der Menschheit sind gelöst. Wenn das mal keine nützliche Anwendung der Mathematik ist, dann weiß ich auch nicht. 

Eine andere nützliche Anwendung irrationaler Zahlen stammt aus einem US-amerikanischen Lehrbuch - da ist man uns wie immer ein paar Jährchen voraus:



Es gab Zeiten, da wäre jeder Mathematiklehrer, der gefragt hätte, ob die in Fuß gemessenen Seitenlängen eines Labyrinths in Dallas rational oder irrational sind, stante pede vom Blitz niedergestreckt worden. Heute wird die Seitenlänge eines quadratischen Labyrinths nicht einmal mehr gemessen, sondern durch Ziehen der Quadratwurzel aus der Fläche berechnet. Und wo sind Thor und Odin, wenn man sie braucht? Nun ja, dafür haben wir heute Modern Educayshun vom Feinsten:



Kommentare:

  1. Bei der Aufgabe mit dem Fisch geht es wohl eher um den Energieverbrauch pro Zeit. Hätte der Autor der Aufgabe in der Schule im Physikunterricht aufgepasst, wüsste er, dass er eigentlich von der Leistung spricht.

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  2. Wie der Erstkommentator bereits schrieb, besteht das Problem der Fisch-Formel darin, dass E_k(x) keine Energie, sondern eine Leistung sein sollte. Davon abgesehen ist die Formel aber zumindest einheitentechnisch in Ordnung: Die Konstante c hat die Einheit Joule (sie sollte die Einheit Watt = Joule pro Sekunde haben), x ist einheitenlos. In der Aufgabe steht explizit, die Geschwindigkeit sei x m/s.

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  3. Eine Formel wie E = mv^2/2 stimmt auch mit Einheiten - sonst würde keine Dimensionsanalyse funktionieren. Natürlich stimmt sie auch, wenn man die Einheiten weglässt und dazusagt, dass man Energie in Joule, Masse in kg und Geschwindigkeit in m/s misst. Ich würde gerne sehen, wie man die Fischformel mit variablem Exponenten bei der Geschwindigkeit mit richtigen Einheiten so schreibt, dass sie aussieht wie eine physikalische Formel.

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  4. Eine physikalische Formel für eine von einer Geschwindigkeit v und einem reellen Parameter k abhängige Leistung E_k(v) kann z.B. die Form E_k(v) = c * (v/v_0)^k / (v-v_1) haben, wobei v_0,v_1 feste Geschwindigkeiten sind und die k-unabhängige Konstante c die Einheit W*m/s hat. In der Aufgabe ist x = v/v_0 mit v_0 = 1 m/s und v_1 = 2 m/s.

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  5. Das Hauptproblem der Formel für E_k(v) ist, dass bei einer gewissen Geschwindigkeit v_1 der Betrag der Energie bzw. Leistung unendlich groß wird. Das ist in jedem Fall physikalischer Unsinn, denn in der Aufgabe hat v_1 einen Wert (2 m/s), den Fische sicherlich erreichen können. In diesem Geschwindigkeitsbereich sollte die Formel sinnvolle Ergebnisse liefern.

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