Samstag, 10. Dezember 2016

Begründen in der Geometrie - So macht man es heute

Nach der kompletten Entsorgung der elementaren Geometrie nach der Schavanschen Bildungsreform von 2004 kommt sie mit nun 2016 wieder ein ganz klein wenig zurück: Immerhin gibt es jetzt je eine Seite zum Satz des Thales, Umkreis, Inkreis, Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden im Buch der Klasse 7. Das entsprechende Kapitel heißt "Geometrische Sätze - Begründen in der Geometrie" und beginnt mit Bildern und einem Zitat:
        "Quod erat demonstrandum"
        "Was zu beweisen war"
         Griechischer Mathematiker Euklid, um 300 v.Chr.
Ich hoffe, dass wenigstens den Autoren klar war, dass der griechische Mathematiker Euklid sehr wahrscheinlich kein Latein gesprochen hat.

Das Kapitel beginnt mit Scheitel- und Nebenwinkel:

       Zeichnet man zwei Geraden, die sich schneiden, so entstehen vier Winkel α, β, γ, und δ.
       Ist einer dieser Winkel bekannt, z.B. α = 30o  , so kann man die anderen Winkel ohne
       Nachmessen bestimmen:
       1. α und γ liegen einander gegenüber. Sie heißen Scheitelwinkel, Es ist α = γ = 30o.
       2. α und β liegen nebeneinander und ergeben zusammen 180o. Sie heißen Nebenwinkel.
           Es ist β = 180o  - 30o  = 150o.
       Solche Zusammenhänge, die beim Problemlösen eine wichtige Rolle spielen, fasst man 
       in der Mathematik zu einem Lehrsatz (kurz: "Satz") zusammen. 

Mir ist natürlich klar, dass man in einem Schulbuch von heute in Klasse 7 keine euklidische Axiomatik betreiben kann. Es wird also einfache geometrische Erkenntnisse geben, die man als gegeben hinnehmen muss. Im vorliegenden Fall wäre es aber doch besser gewesen zu sagen, dass die Figur zweier sich schneidender Geraden bei einer Drehung um 180 in sich übergeht und dass deswegen α = γ ist. Sonst bleibt einem als Schüler ja nur auswendig zu lernen, was Scheitelwinkel sind, und dass diese gleich sind.

Noch schrecklicher ist der letzte Satz, wonach Zusammenhänge, die beim Problemlösen eine wichtige Rolle spielen, zu Sätzen zusammengefasst werden. Jetzt erklärt man also schon, was ein mathematischer Satz ist, ohne die Wörter Definition und Beweis auch nur einmal erwähnt zu haben. Das Gebäude der Mathematik wird hier der Problemlösekompetenz untergeordnet.

Dass Stufenwinkel gleich sind, erkennt man daran, dass man es an drei Figuren abliest. Das gleiche gilt für den Satz, dass Basiswinkel in gleichschenkligen Dreiecken gleich sind (oder gleich weit, wie das Buch zu sagen pflegt). Diesen Satz (es muss einer sein, weil es um einen Zusammenhang von Streckenlängen und Winkelweiten in gleichschenkligen Dreiecken gibt) leitet man so her:

     Zwei gleich lange Stäbe sind am Ende mit einem Gelenk verbunden und werden auf den
     Tisch gestützt. Ohne nachzumessen kann man daraus schließen, dass die Winkel α und β 
     gleich weit sein müssen.

Auch hier hätte man, wenn man Kongruenzsätze vermeiden möchte, vielleicht wenigstens die Achsensymmetrie gleichschenkliger Dreiecke heranziehen können, um den Satz plausibel zu machen.

Noch besser wird es bei den Mittelsenkrechten.




      Rechts steht ein Sendemast mit dem Mastfuß in der Mitte M der Strecke AB.
      Der Mast steht nur dann orthogonal zum Boden, wenn beide Halteseile gleich 
      lang sind. Diesen Zusammenhang kann man allgemein zum Begründen verwenden

und wenn man es allgeimein zum Begründen beim Problemlösen verwenden kann, muss es ein Satz sein.

Den Inkreis schenken wir uns und wenden uns dem Schwerpunkt eines Dreiecks zu. Dieser gehört nicht zum Bildungsplan, sondern wird als GFS-Thema vorgestellt; unter diesem Titel bietet das Buch "ein zusätzliches interessantes Thema zum selbstständigen Erarbeiten" an. Die erste Seite dieses GFS-Themas hat LS ins Netz gestellt. Los geht es mit zwei Bildern:

     "Der Turner auf dem Felsen ist im Gleichgewicht. Dies ist der Fall, wenn sich das stützende 
       Bein senkrecht unter dem Schwerpunkt des Körpers befindet. Bei einem Körper aus Stein 
       oder Holz ist es möglich, den Schwerpunkt durch Konstruieren zu finden."

Ganz offenbar wissen heutige Siebtklässler, was ein Schwerpunkt ist - vermutlich haben sie das bei Archimedes gelesen, als sie beim Surfen mit ihrem Smartphone im Netz auf dessen Werke gestoßen sind. Auf die Konstruktion des Schwerpunkts eines Steins bin ich gespannt. Es werden zwei Methoden angegeben, den Schwerpunkt eines Dreiecks zu finden:
      1. Bestimmung des Schwerpunktes eines Dreiecks durch praktische Versuche.
      2. Bestimmung des Schwerpunket S eines Dreiecks durch Konstruieren.
Uns interessiert natürlich Letzteres:
       Durch Nachmessen stellt man fest: Der von der Ecke C ausgehende Faden schneidet
       die Dreiecksseite c in der Mitte von c. Die Strecke CMc heißt Seitenhalbierende sc
       Wenn man zwei Seitenhalbierende zeichnet, erhält man als Schnittpunkt den 
       Schwerpunkt S des Dreiecks.
Ich weiß nicht, ob ein Faden eine Dreiecksseite schneiden kann. Der Unterschied zwischen der praktischen Methode und der Konstruktion liegt jedenfalls darin, dass man bei der Konstruktion zusätzlich noch nachmisst. Auf die Konstruktion des Schwerpunkts eines Körpers aus Stein wartet der Schüler vergeblich - in Wirklichkeit ist er natürlich froh, dass sie nicht drin steht, denn sonst müsste er das auch noch erarbeiten.

Es wird also nicht erklärt, was der Schwerpunkt ist, welche physikalischen Eigenschaften er hat, wie man den Schwerpunkt zweier Punktmassen findet, was das mit der Balkenwaage zu tun hat, und es wird vor allem nicht erklärt, was der nicht definierte Schwerpunkt mit dem Schnittpunkt der Seitenhalbierenden zu tun hat (die Erkenntnis, dass diese sich in einem Punkt schneiden, wird nicht als Satz geadelt, vermutlich weil man sie nicht zum Begründen beim Problemlösen gebrauchen kann).

Wie schwer kann es denn sein, den Schülern zu erklären, die Masse eines Dreiecks mit konstanter Höhe und aus einem Material mit konstanter Dichte wäre proportional zu seiner Fläche? Dann muss der Schwerpunkt auf einer Linie liegen, die das Dreieck in zwei gleich große Flächen teilt, und die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks liefert dann, dass diese Linie die Seitenhalbierende ist.
Ich weiß, das wäre mit Nachdenken verbunden anstatt mit Auswendiglernen nicht verstandener Tatsachen. Aber könnte man so etwas nicht wenigstens einmal im Schuljahr, beispielsweise im Kapitel über Begründen in der Geometrie, vormachen? Anscheinend nicht. Es ist zum Verzweifeln.






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