Samstag, 11. März 2017

Realitätsnahe Aufgaben II

Die neuen Bücher für die Kursstufe (ohne GTR) trudeln langsam ein, lediglich Lambacher-Schweizer  wird nicht vor Ende Juli fertig. Deswegen heute ein paar Beispiele für realitätsnahe Mathematik in den Elementen der Mathematik von Schroedel (leider kann man den Verlag nicht dafür verklagen, dass der Titel das Wort Elemente enthält, weil Euklid vor 2300 Jahren vergessen hat, sich dieses Wort rechtlich sichern zu lassen).

  • Eine Werft stellt Luxusjachten her. Die Gesamtkosten in Abhängigkeitvon der Anzahl x der produzierten Jachten lassen sich näherungsweise durch die Funktion K beschreiben mit
                    K(x) = x3 - 9x2 + 28x + 25  (0 ≤ x ≤ 16) mit K(x) in Millionen Euro.


         Sind die Aufgabensteller sicher, dass es hier um Jachten und nicht  um, sagen wir,
         Jachten pro  Jahr geht? Oder geht die Werft nach 16 gebauten Jachten in die Insolvenz?
  • Eine Firma stellt bedruckte T-Shirts her. Die monatlichen Gesamtkosten in Abhängigkeit von der produzierten Stückzahl lassen sich näherungsweise durch die Funktion K mit
               K(x) = 0,0073x3 - 0,19x2 + 1,1x + 9,8 (x in Tausend T-Shirts, K(x) in 10000 Euro)     
           beschreiben.

          Eine Aufgabe aus der Lebenswelt der Schüler; spätestens wenn sie ihr Abi-Shirt bestellen,
          kommt ihnen der Verkäufer mit einem Polynom dritten Grades. Zum Glück haben sie
          gelernt, was dann zu tun ist.
  • Ein Betrieb plant, neuartige Batterien für Digitalkameras herzustellen, die zum Stückpreis von 30 Euro verkauft werden sollen. Die Kosten  für die Produktion von x Batterien betragen pro Monat   K(x) = x3/420.000 - x3/160 + 22x+ 5000 .
           Auf ein Neues: kosten x Batterien  K(x) Euro pro Monat, oder kosten x Batterien 
           pro Monat K(x) Euro? Man gewinnt den Eindruck, die Aufgabensteller würden den
           Unterschied gar nicht sehen.
  •  Zwei Masten A und B einer Seilbahn stehen 500 m auseinander. Die Mastspitze B liegt um 100 m höher als die Mastspitze A. Ein unbelastetes Seil zwischen den beiden Masten kann durch die Graphen der Funktionenschar ft mit ft (x) = tx2 + (0,2-500)tx beschrieben werden . . .        
          Ich will ja gar nicht auf den Unterschied zwischen Parabel und Kettenlinie eingehen. Aber
          wer spannt ein Seil zwischen zwei Masten, die einen halben Kilometer auseinander liegen?
  • Die Rutsche an der Kopenhagener Hafenpromenade Kalvebad Bolge ist aus drei Teilstücken montiert .                                                                                                                                                                                        
  • Bei den meisten Schanzen wird der Anlauf auf einem künstlichen Turm errichtet . . . Nach den Normen des internationalen Skiverbandes FIS kann der gekrümmte Bereich (der Übergangsbogen) ein Kreisausschnitt oder eine kubische Parabel sein.                                                  
  • Ein Kaffeegroßröster stellt Kaffeemischungen verschiedener Preisklassen her. Der Preis für 500 g einer Bohnensorte A beträgt 6 Euro, für 500 g einer Bohnensorte B 7,50 Euro, für 500 g einer Bohnensorte C 9 Euro  und für 500 g einer Bohnensorte D 11,50 Euro. Eine Mischung soll Bohnen der Sorte A, B, C enthalten und 6,75 Euro pro 500 g kosten.
           Eine arg dämliche Einkleidung. Das kann ich auch: Ein Getränkehersteller stellt 
           Getränke verschiedener Preisklassen her. 1 L Cola kostet 25 ct, 1 L Bier 40 ct und 
           1 L Wein 1,40 ct. Eine Mischung soll 99 ct pro Liter kosten . . . 
  • Ein Grundstück liegt unterhalb des Straßenniveaus. Bestimmen Sie zur Gestaltung der Auffahrt eine ganzrationale Funktion möglichst niedrigen Grades, deren Graph jeweils einen knickfreien Übeergang zu den horizontal verlaufenden Teilstücken ermöglicht.
  • Einer Patientin wird über eine Infusion ein Medikament ins Blut verabreicht. Anschließend wird das Medikament vom Körper gleichmäßig abgebaut
  •  Eine Waldlfläche wird durch Holzeinschlag um 10 ha pro Jahr verringert. Nach 5 Jahren wird der Einschlag beendet und die Fläche wird wieder aufgeforstet, sodass die Waldlfäche dann um 7 ha pro Jahr zunimmt.
  • Ein  Navigationssystem rechnet für die Fahrt euf einer Autobahn mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 120 km/h und für die Fahrt auf einer Landstraße mit 100 km/h
          Durchschnittlich 100 km/h auf Landstraßen? In Saudiarabien vielleicht.
  • In einem Pumpspeicherwerk wird nachts, wenn der Strombedarf geringer ist, Wasser aus einem unteren Becken un ein oberes Becken gepumpt
  • Ein leeres Wasserbecken hat einen Zufluss und einen Abfluss, Zunächst wird der Zufluss 15 min geöffnet. Die Zuflussgeschwindigkeit beträgt 300 L/min. Dann wird 20 min lang der Zufluss geschlossen und der Abfluss geöffnet. Die Abflussgeschwindigkeit beträgt 200L/min. 
          Warum macht man das? Offenbar ist den Aufgabenstellern dazu keine Geschichte
          eingefallen
  • Dem Seelöwen Aramis geht es nicht gut. Der Tierarzt vermutet, dass der Verzehr von Fischen, die mit Quecksilber kontaminiert waren, die Ursache dafür sein könnte.
            Aramis wird wohl dafür bezahlen müssen, dass man die Glühbirnen durch
            Energiesparlampen ersetzt hat.
  • Der Kraftstoffverbrauch und die Emissionen bei einem Auto sind bei  gleichmäßiger Fahrweise . . . [Der momentane Kraftstoffverbrauch kann gut durch den] Graphen der Funktion k mit k(x) = 0,2 - 0,05 √x beschrieben werden.
  • Die Geschwindigkeit eines Geparden bei der Jagd, aus der Ruheposition bis er seine Beute gepackt hat, kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x) = 0,1x3 - 2,25x2 + 14 x [ . . .] beschrieben werden.
  • Die Funktion f mit f(t) = 0,2t3 - 48t2 + 2880t beschreibt den Wasserzufluss (in m3/Tag) in ein Rückhaltebecken in Abhängigkeit von der Zeit t (in Tagen) für 120 Tage,
  • Die Änderungsrate des Wasserstandes eines Hafens kann für einen Tag näherungsweise durch die Funktion f mit $f(x) = 1/2 cos(x/2) + 1/2 cos(x/4) beschrieben werden.
  • Unmittelbar nach dem Deichbruch eines Flusses fließen etwa 150 m3 Wasser pro Minute durch die Bruchstelle. Man geht davon aus, dass sich die  Bruchstelle durch den Wasserfluß so vergrößert, dass sich innerhalb einer Minute die Durchflussstärke um 30 m3 pro Minute erhöht.
           Innerhalb einer Minute um 30 m3/min???
  •  Der abgebildete Graph beschreibt die momentane Änderungsrate einesTankinhalts
  •  In einem Wüstengebiet wird ein Wasserreservoir von einem Fluss gespeist, der lange Zeit des Jahres trocken liegt . . . 
  • Für ein Segelflugzeug ist die Steig- bzw. Sinkgeschwindigkeit v(t) in Abhängigkeit von der Zeit t im rechts abgebildeten Graphen dargestellt.
  • Auf der Anzeige eines Messinstruments in einem Personenkraftwagen ist der durchschnittliche Kraftstoffverbrauch auf 100 km zu sehen. Der  abgebildete Graph . . . 
  • Für Freizeitaktivitäten im Wassersport wird ein neuer Kanal als Verbindung zwischen zwei Seen angelegt. Bestimmen Sie einen Funktionsterm für den rechts abgebildeten Kanalboden . . .
  •  Seit der Antike beherrschen Baumeister die Kunst, Torbögen zu konstruieren, zum Beispiel für Tore, Brücken oder  Aquädukte.
           Keine Angst, die Kreisgleichung taucht nicht auf, schließlich sind  wir Abitur
           und nicht master.
  •  Der Yachthafen eines Segelclubs wird näherungsweise durch parabelförmig angelegte Kaimauern begrenzt . . . 
          Zu Beginn haben wir die Jacht noch mit J geschrieben.
  •  Ein rotationssymmetrischer Stahlbolzen kann durch die Rotation der Fläche unter dem abgebildeten Funktionsgraphen . . . beschrieben werden.
  • Die Form eines Woks kann näherungsweise durch die Mantelfläche der Schicht einer Kugel mit dem Radius r = 25 cm beschrieben werden.
  • Das 135 m hohe Riesenrad London Eye ist derzeit das höchste Europas. Eine Gondel ist  7 m lang, 3,5 m hoch und hat die Form eines Rotationskörpers. Ein solcher Rotationskörper entsteht, wenn der Graph der Funktion f mit f(x) = 3,5 √(cos(π/7)x) zwischen zwei benachbarten Stellen um die  x-Achse rotiert.
  •  In einem Wüstengebiet wird ein Wasserreservoir von einem Fluss gespeist, der lange Zeit des Jahres trocken liegt . . . 
            Diese Einkleidung hatten wir schon mal. Diesmal ist der Graph etwas anders,                                      und es gibt ein Foto dazu.
  •  Der Wanderverein MOUNTAIN TOURS sucht ein neues Logo für den Briefkopf und als Vorlage für Ehrenabzeichen, das an verdiente Mitglieder verliehen  werden soll.
  •  Ein rotationssymmetrisches Staubecken hat eine Parabel mit der Gleichung y=ax2 als Berandung des Querschnitts.
Das muss reichen, um einen Eindruck davon zu bekommen, was man heute im Mathematikunterricht so macht. Im Buch geht es noch 150 Seiten so weiter.

Auf zwei besonders merkwürdige Beispiele aus der intellektuellen Wüste des Modellierens im heutigen Schulunterricht möchte ich aber noch hinweisen:
  • Ein Autofahrer ist mit einer konstanten Geschwindigkeit von v0 = 108 km/h unterwegs. Plötzlich läuft 100 m vor ihm ein Reh über die Straße. Gelingt es ihm, noch vor dem Reh anzuhalten, wenn die Bremsverzögerung bei einer Vollbremsung -7,5 m/s2 beträgt? Beachten Sie, dass die typische Reaktionszeit  vom Erkennen der Gefahr bis zum Betätigen der Bremse etwa 1 s ("Schrecksekunde") beträgt?
Das würde ich gern vorrechnen: Ich nehme an, dass das Reh mit einer Geschwindigkeit von 30 km/h über die 8 m breite Straße läuft. Dann ist es nach der Schrecksekunde des Autofahrers wieder von der Straße runter. Das Auto ist inzwischen 30 m weit gefahren. Wenn der Autofahrer gute Augen hat, kann er das Reh in dann noch 70 m Entfernung ganz passabel  erkennen.

Und noch eine Frage: wenn die Bremsverzögerung negativ ist, wird das Auto dann schneller?

Hin und wieder lasse ich meine Schüler wissen, dass ich für meinen Unterricht kein Gehalt bekomme, sondern nur Schmerzensgeld.

Der Offenbarungseid der Modellierer ist aber folgende Aufgabe:
  • Beim Kugelstoßen kann in einem vereinfachten Modell ein Punkt P(x|h(x)) der Flugbahn gut durch eine quadratische Funktion h mit
                        h(x) = g/(2 v02 cos2 (α)) x2 + tan(α) x + h0
            mit x und h(x) in m beschrieben werden.

Wenn nach 12 Jahren Modellieren im Mathematikunterricht die Parabelbahn eines Objekts beim schiefen Wurf unter Vernachlässigung des Luftwiderstands vom Himmel fallen muss, weil a) die Autoren selbst zu doof dazu sind, diese herzuleiten, und b) auch den Schülern eine solche Herleitung nicht zugemutet werden kann, weil die Grundlagen von Trigonometrie und Algebra nicht mehr vermittelt werden, dann muss doch selbst der dümmste unter allen Kompetenzschwaflern an den Fachbereichen der Erziehungswissenschaften und in den Regierungspräsidien einsehen, dass dieser Schwachsinn zu nichts taugt. Was daraus folgt, dass dem nicht so ist, weiß ich auch nicht.

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