Samstag, 17. Juni 2017

Begründen Sie, dass!

Als Lehrer stumpft man im Laufe der Zeit ab und wundert sich über gar nichts mehr. Nur wenn man dann eine Aufgabe vorgesetzt bekommt wie

    Begründen Sie, dass der Graph der Funktion f mit
    f(x) = x3+3x–1 genau eine Nullstelle hat,

dann will man es doch wissen: Seit wann heißt es denn "Begründen Sie, dass"? Google kann helfen: Es findet zwar für "Begründen Sie, weshalb" knapp 5000, für "Begründen Sie, warum" deren 30800 und für "Begründen Sie, dass" mehr als 60000 Treffer. Allerdings führen die ersten 100 Treffer bei der letzten Suche bis auf vereinzelte Ausnahmen auf lauter Aufgaben zur Schulmathematik. Schränkt man die Suche auf Bücher ein, liefert google fast 4000 Treffer, davon 10 aus den Jahren vor 2000, während es in diesem Zeitraum 30mal so viel Treffer mit "Begründen Sie, warum" gibt.

Die Floskel "Begründen Sie, dass" wurde also nach der Jahrtausendwende in der Schulmathematik eingeführt, und zwar aus guten Gründen. Als ich Mathematik studiert habe, haben die Aufgaben mit "Zeigen Sie, dass" begonnen, und erwartet wurde ein sauberer Beweis. Auch Schüler mussten damals noch etwas zeigen, etwa mit vollständiger Induktion oder durch einfache Rechnung, und ganz früher auch mit Hilfe einfacher geometrischer Sätze, die heute kein Didaktiker mehr kennt. Weil man das Beweisen in der Schule abgeschafft hat (Beweisen ist keine Allgemeinbildung, und Mathematikunterricht, so lehrt es die moderne Didaktik, muss nach Winter allgemeinbildend sein), geht das nicht mehr. Und weil man nicht mehr zeigen kann, weshalb etwas gilt, muss man jetzt begründen, dass etwas gilt. Zum Beispiel, dass eine kubische Funktion eine Nullstelle hat, und manche darunter genau eine - wir kennen das ja aus dem diesjährigen BW-Abi.

Die obige Aufgabe stammt aus der Aufgabensammlung  von diversen Autoren, darunter Prof. Pinkernell, Heidelberg (genauer: PH Heidelberg, aber das steht nicht im Dokument) und dem Casio-Luder Elschenbroich (in der Didaktik gibt es TI-Luder (etwa Prof. Hartwig Meissner und Prof. Bärbel Barzel) und Casio-Luder (wie eben Herr Elschenbroich), je nachdem, welche Firma Millionen springen lässt, damit die Begünstigten Artikel über die Vorteile des Unterrichtens mit TI bzw. Casio schreiben und sich in offenen Briefen an die Landesregierung darüber beschweren, dass die Abschaffung des GTR Baden-Württemberg in die mathematische Steinzeit katapultieren wird).

Interessant ist dabei nicht so sehr die Aufgabe selbst, sondern der Erwartungshorizont:

       Ein Lösungsverfahren zur Nullstellenbestimmung von Polynomen 
       dritten Grades kann nicht vorausgesetzt werden,

Das ist richtig, weil man Algorithmen wie Hornerschema, Polynomdivision und Newtonverfahren aus dem Lehrplan gekegelt hat, um Platz zu schaffen für die Bedienungsanleitung der graphikfähigen Taschenrechner. Warum das hier erwähnt wird, ist nicht ganz klar, denn es soll ja nicht die Nullstelle von f bestimmt werden, sondern begründet werden, dass die Funktion eine solche besitzt.

Das dürfte Schülern, die im letzten Jahrtausend Abitur gemacht haben, nicht schwerfallen, denn es ist f(0) = -1 und f(1) = 3. Die Funktion f ist stetig auf den reellen Zahlen und hat einen Vorzeichenwechsel auf dem Intervall [0,1], folglich hat f (nach dem Zwischenwertsatz) eine Nullstelle in diesem Intervall. Weil aber die Stetigkeit auch abgeschafft wurde (vom Zwischenwertsatz ganz zu schweigen), kann diese Lösung auch "nicht vorausgesetzt werden".

Wie sollen Schüler also begründen, dass die Funktion f genau eine Nullstelle hat? Nun, Pinkernell und Elschenbroich erwarten das folgende:

       Ein Lösungsverfahren zur Nullstellenbestimmung von Polynomen 
       dritten Grades kann nicht vorausgesetzt werden, deshalb wird eine
       graphische Betrachtung der Gleichungen x³–1 = 3x bzw. x³ = 1–3x 
       erwartet 

Da wäre ich, das gebe ich zu, in 100 Jahren nicht draufgekommen. Warum macht man aus der Nullstelle von x³ + 3x – 1 einen Schnittpunkt der beiden Funktionen
x³  – 1 und 3x (genauer wäre natürlich – 3x, das kann man schon mal übersehen)? Ich vermute, dass es daran liegt, dass Schüler zwar noch  x³  – 1 skizzieren können, aber bei  x³ + 3x – 1 überfordert sind, schließlich hat das ja bisher der GTR gemacht. Begründet, warum die Funktion einen Schnittpunkt hat, haben wir natürlich nicht; wir haben ja nicht einmal begründet, dass sie einen hat. Aber anscheinend reicht das den Herren Pinkernell und Elschenbroich.

Es gibt aber (und so soll es bei guten Aufgaben ja auch sein) noch eine zweite Begründung (gut, die erste war keine, aber wir wollen nicht kleinlich sein):

       Ein Lösungsverfahren zur Nullstellenbestimmung von Polynomen 
       dritten Grades kann nicht vorausgesetzt werden, deshalb wird eine
       graphische Betrachtung der Gleichungen x³–1 = 3x bzw. x³ = 1–3x 
       erwartet, oder eine Analyse der ersten Ableitung f‘(x) = 3x² + 3, aus 
      der hervorgeht, dass f überall streng monoton steigend ist.

Was uns diese Begründung sagen will, erschließt sich mir nicht. Die Ableitung der Funktion g(x) = ex ist ebenfalls positiv, woraus hervorgeht, dass g überall streng monoton steigend ist. Aber hat g deswegen genau eine Nullstelle? Die Exponentialfunktion, das haben Schüler auswendig gelernt, hat jedenfalls keine. Also ist sie ein Gegenbeispiel zur Begründung, dass eine Funktion genau eine Nullstelle hat, wenn f streng monoton steigt.

Natürlich kann ich mir denken, was Pinkernell und Elschenbroich gemeint haben, schließlich korrigiere ich seit 10 Jahren ganz ähnliche Fehler bei meinen Schülern. Sie haben gemeint, dass f keine zwei Nullstellen haben kann, wenn f streng monoton steigend ist. Aber zum einen steht das nicht da, zum andern ist es auch noch falsch: die Funktion h(x) = x – 1/x ist auf ihrem maximalen Definitionsbereich streng monoton steigend und hat die beiden Nullstellen x1 = –1 und x2 = 1.  Aber natürlich, werden Sie einwenden, gilt dies nur bei stetigen Funktionen ohne Definitionslücke. Und damit sind wir wieder am Anfang: die Bestimmung von Definitionsbereichen wird in BW nur an Realschulen unterrichtet (noch; für die Einführung von Quartilen, Medianen und Boxplots, die inzwischen auch die Gymnasiasten beglücken, braucht man sicher wieder etwas Platz).

Die ganze "Begründen-Sie-dass"-Industrie der modernen Didaktik ist ein ganz großer Schwindel. Es wird geschwurbelt, was das Zeug hält, und mit Mathematik hat das nicht nur nichts zu tun, vielmehr kann es mit Mathematik nichts zu tun haben, weil man dafür Definitionen und ein paar Sätze über reellwertige Funktionen braucht. Pinkernell und Elschenbroich können ganz sicher nicht "zeigen dass", und sie können auch nicht "begründen, warum". Sie können noch nicht einmal "begründen, dass".

Freitag, 16. Juni 2017

Gefahren des modernen Mathematikunterrichts

Heute gibt es eine (etwas holprige) Übersetzung eines Artikels von Stuart Wachowicz. Mehr dazu am Ende.

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  "Stolz auf handwerkliches Können verpflichtet die Mathematiker
   einer Generation dazu, unerledigte Probleme ihrer Vorgänger
   zu erledigen."

          E.T.Bell, The Last Problem

Die obige Aussage beschreibt höchst genau das Vermächtnis einer  Generation von Mathematikern für die nächste. Allerdings ist man versucht darüber nachzudenken, ob dies in Nordamerika weiterhin so sein wird. Das Fach Mathematik, wie wir es kennen, ist offenbar bedroht. Diese Bedrohung ist eine Folge davon, dass man Lehrplanautoren erlaubt, die jahrhundertelang gültige Definition von Mathematik und davon, was gelernt werden soll, zu ändern, und zwar auf der Grundlage des Utilitarismus, kombiniert mit der derzeitigen Praxis, die Pädagogik durch unbewiesene Modeerscheinungen zu versetzen.

Vor einem Jahrhundert wurde die Drohung des Utilitarismus von Andrew  Carnegie kurz und prägnant so formuliert: "Schulen sind ein Ort, wo Kinder lernen, Dinge herzustellen." Heute wird dieselbe Idee im  Gedanken verkleidet, wonach Mathematik, um einen Wert zu haben, in einer Art studiert werden muss, die notwendig eine realitätsbezogene Anwendung (was immer das bedeutet) besitzt. Es ist natürlich richtig, dass Schüler  davon profitieren, wenn sie die Kraft der Mathematik bei der Lösung eines Problems aus dem Alltag erfahren; es gibt aber einen weiteren Aspekt des Fachs Mathematik, einen der den Einzelnen befähigt, die höchst elegante und genaue Sprache zu würdigen. Dies erinnert mich an eine Aussage, die Harold Jacobs im Vorwort seines Buchs "Mathematics: A Human Endeavor" geschrieben hat:

    "Einige der Themen in diesem Buch mögen scheinbar wenig praktischen
     Nutzen haben, aber die Bedeutung der Mathematik beruht nicht auf
     ihrem praktischen Wert. Es ist schwer zu glauben, dass jemand, der
     das erste Mal über den Grand Canyon fliegt, die Frage "Wozu ist
     der gut?" stellt. Manche Leute sagen exakt dasselbe von der Mathematik.
     Ein großer Mathematiker unseres Jahrhunderts, G.H. Hardy, sagte einmal
     "Ein Mathematiker ist, wie ein Maler oder ein Dichter, jemand, der 
      Muster herstellt." Einige dieser Muster haben eine umgehende 
     und offensichtliche Anwendung; andere werden vielleicht nie zu  
     irgendetwas nützlich sein. Aber wie der Grand Canyon hat die
     Mathematik ihre eigene Schönheit und übt einen Reiz auf die aus,
     die bereit sind zu sehen."

In seinem Streben nach einem utilitaristischen Wert  der Mathematik versucht  der moderne Lehrplan an öffentlichen Schulen nicht mehr ernsthaft, den  Schülern ein tiefes Verständnis davon zu vermitteln, was Newton "die Sprache des Universums" genannt hat. Es ist nur ein Lippenbekenntnis, wenn das Ziel ausgesprochen wird, den Schülern Kompetenzen im Problemlösen zu vermitteln: moderne Lehrpläne legen keinen Wert auf die Grundlagen des Problemlösens: die Beherrschung von Beziehungen zwischen Zahlen und der fundamentalen Axiome und Postulate, auf welche das mathematische Argumentieren basiert. Praktisch alle Schüler könnten und sollten diese lernen.

Die zweite Bedrohung ist, politisch gewollte Modeerscheinungen die  Pädagogik an unseren Schulen beeinflussen zu lassen. Hätten vor  vielen Jahrhunderten die Entwickler des Abakus der Gesellschaft die Idee verkaufen können, dass diese neue Technologie es überflüssig mache, dass Schüler weiterhin die grundlegenden arithmetischen Rechnungen beherrschen, dann hätte sich die Mathematik wohl anders entwickelt.  Sicherlich  wäre dieses Argument für Gesellschaften gültig gewesen, die recht umständliche Zahlensysteme hatten, etwa diejenigen in Griechenland und Rom. Aber nicht einmal in Gegenden, in welchen die indischen Ziffern übernommen wurden, hat der Abakus die Vorstellung entfernt, dass ein auch nur teilweise gebildeter Mensch das schriftliche Rechnen  beherrschen sollte. Trotz späterer technischer Erfindungen hat nie jemand ernsthaft behauptet, das Beherrschen des schriftlichen Rechnens wäre überflüssig. Heute dagegen, mit all den Fortschritten in der  Mikroelektronik (eine Folge der traditionellen Strenge in Mathematik und Technik), gibt es Leute, die vorschlagen, die Beherrschung des schriftlichen Rechnens durch den Taschenrechner zu ersetzen. Überall in den USA und in Kanada gibt es Didaktiker, die ständig auf der Suche nach etwas Neuem und Innovativem sind. Dies ist selten mit quantifizierter Forschung verbunden, die untersucht, ob die Neuerung tatsächlich ein besseres Resultat liefert, aber es kann zu einem akademischen Abschluss führen und jemanden im lukrativen Vortragszirkus plazieren. Getrieben von einer progressivistischen Ideologie versuchen sie, Schüler von der Schinderei des Rechnens zu befreien, insbesondere von der schriftlichen Division.

Da die Taschenrechner der 1970er Jahre noch nicht mit Brüchen umgehen konnten, wurden die Lehrpläne dahingehend abgeändert, dass Dezimalzahlen früher eingeführt wurden, und die antiquierten Brüche wurden an den Rand gedrängt. Die Rolle des Bruchrechnens wurde so in der Grundschule reduziert und wurden nun an weiterführenden Schulen nachgeholt. Aber leider wurden die Taschenrechner besser und lernten bald, mit Brüchen umzugehen. Moderne Lehrpläne (wie das Western Canadian Protocol Framework für Mathematik) begannen damit, den Schülern freizustellen, ob sie derartige Rechnungen mit Papier und Bleistift und/oder mit einem Taschenrechner erledigen. In der Folge haben sich zuerst Lehrer und Eltern und dann Arbeitgeber darüber beschwert, dass sich Schüler nach dem Abgang von der Schule als unfähig erweisen, rationale Zahlen zu verstehen und mit ihnen zu rechnen. Lehrer an den High Schools, die sich mit Schülern befassen, welche  Beziehungen zwischen Zahlen nicht internalisiert haben, wie es früher  als Ergebnis der Beherrschung schriftlicher Rechenverfahren der Fall  gewesen ist, haben vermehrt Schwierigkeiten, ihren Schülern den flüssigen Umgang mit rationalen algebraischen Termen zu vermitteln.

Vor wenigen Jahren haben die Hersteller den graphikfähigen Taschenrechner eingeführt. Die Gurus haben sofort die Änderung des Lehrplans verlangt, damit diese Neuerung die Schüler (bereits ohne ein sicheres Gefühl für den Umgang mit Zahlen) auf eine "neue Ebene" des Verständnisses heben könne. Nie mehr sollten sie langwierig die Parameter einer Hyperbel berechnen müssen. Man gibt einfach die Koeffizienten ein und schaut zu, wie kleine Linien auf dem Display erscheinen. Nie mehr würden Schüler die  quadratische Ergänzung beherrschen oder die Gleichung des Einheitskreises auswendig lernen müssen. Der umgehende Abruf aus dem Gehirn konnte ersetzt werden durch einen Mikrochip. Diejenigen, welche die Entscheidungen  getroffen haben, haben sich nie gefragt, wer graphikfähige Taschenrechner nach der High School noch verwendet. Die Tatsache, dass es praktisch überhaupt keine Verwendung für sie gibt wurde übersehen. Die Tatsache, dass Universitäten diese in Klausuren nicht erlaubten, wurde nicht in Erwägung gezogen. Sogar das Konzept des Auswendiglernens, das großartigste Werkzeug für die Entwicklung geistiger Fähigkeiten, wurde verdrängt.

Hier liegt ein logischer Fehlschluss vor, den nur wenige  Bildungsexperten zuzugeben bereit sind. Neue Zugänge zur Mathematik an öffentlichen Schulen postulieren, dass es Schülern auch ohne eingeübte  Grundkenntnisse und einem Gespür für den Umgang mit Zahlen, ohne Fertigkeiten im Rechnen und beim algebraischen Umformen von Termen, sowie ohne Übung im Argumentieren möglich sei, algebraische, trigonometrische und geometrische Prinzipien auf einem Niveau zu verstehen, das es ihnen erlaubt, zu echten Problemlösern in Mathematik zu werden. Die Tatsache, dass weniger als 10 % der Master-Studenten in unserer Provinz Alberta ihre  frühe Ausbildung an öffentlichen Schulen in Nordamerika erhalten haben,  sollte Zweifel an dieser Theorie wecken, welche die Weisheit von Jahrhunderten missachtet. Die Wahrheit ist, dass ohne eine Wertschätzung des Fachs  Mathematik, die bereits in jungen Jahren entwickelt wird, mathematisches Argumentieren und die Entwicklung von mathematischem Potential erschwert wird.

Der neue Zugang basiert auf der Grundidee, dass Technologie untrennbar mit dem Fach Mathematik verbunden ist. Technologie ist aber nur eine Folge der Mathematik. Wirkliche Mathematik ist nämlich unabhängig von Technologie. Heute dagegen ist Technologie der geistlose Motor hinter Erziehungsphilosophie, Lehrplanentwürfen und Lernstandserhebungen.  Mathematisches Argumentieren wird dadurch erschwert und ist zur Geisel dieser anti-intellektuellen technologischen Bewegung geworden.

Während Technologie viele positive Anwendungen in der Erziehung haben mag, etwa um einem Lehrer im Unterricht zu helfen, ist der derzeitige übertriebene Gebrauch ein Problem sowohl aus finanzieller wie aus pädagogischer Perspektive. Die Didaktik behauptet, dass es, weil es so viel Information gibt, unmöglich sei, alles zu wissen. Also müssten Schüler, anstatt sich Wissen anzueignen, in der Beschaffung von Informationen kompetent  gemacht werden. Auch dies ist ein logischer Fehlschluss. Wissen war, ist und wird immer das Rohmaterial des Verstands sein, und ohne eine interne Basis an Wissen werden Kompetenzen nutzlos. Nirgendwo ist dies wahrer als in Mathematik.

Wenn wir handwerkliche Meister haben wollen, welche die unerledigten Arbeiten unserer Vorgänger erledigen sollen, wie Bell bemerkte, dann müssen wir Schüler an öffentlichen Schulen das Wissen und die Fähigkeiten vermitteln, die es ihnen erlauben, genau das zu tun. Wenn die Kaiserin nackt ist, dann ist es die Pflicht derjenigen, die sich dieser Tatsache bewusst sind, so mutig zu sein, um sie zu informieren.

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Dieser Artikel ist, das mag überraschen, bereits 16 Jahre alt. Er stammt aus der Zeitschrift  Pi in the sky vom Juni 2001. Wer sich diesen (oder andere) Artikel im Original zu Gemüte führen mächte, kann dies hier tun.

Stuart Wichowicz war Direktor einer High School in Alberta und hat Abschlüsse in Geographie und Erziehungswissenschaften.


Zum Schluss noch das Urteil eines der größten Mathematiker aller Zeiten, Carl-Friedrich Gauß:

      Aber nicht bloss unsere Armuth documentirt eine solche Art zu 
      urtheilen, sondern zugleich eine kleinliche, engherzige und träge 
      Denkungsart, eine Disposition, immer den Lohn jeder Kraftäusserung 
      ängstlich zu calculiren, einen Kaltsinn und eine Gefühllosigkeit gegen
      das Grosse und den Menschen Ehrende. Man kann es sich leider nicht 
      verheelen, dass man eine solche Denkungsart in unserm Zeitalter sehr 
      verbreitet findet, und es ist wohl völlig gewiss, dass gerade diese 
      Denkart mit dem Unglück, was in den letzten Zeiten so viele Staaten
      betroffen hat, in einem sehr genauen Zusammenhange steht; verstehen 
      Sie mich recht, ich spreche nicht von dem so häufigen Mangel an Sinn 
      für die Wissenschaften an sich, sondern von der Quelle, woraus derselbe
      fliesst, von der Tendenz, überall zuerst nach dem Vortheil zu fragen, und 
      alles auf physisches Wohlsein zu beziehen, von der Gleichgültigkeit gegen
      grosse Ideen, von der Abneigung gegen Kraftanstrengungen bloss aus 
      reinem Enthusiasmus für eine Sache an sich.