Dienstag, 12. Februar 2019

Es geht voran I

Wo man hinsieht: gute Nachrichten. Fossile Brennstoffe gehören ab 2030 oder 2040 oder 2200 der Vergangenheit an, fossile Lehrer wie ich schon heute. Die Zeitungen preisen inzwischen wöchentlich die digitalen Schulen; letzte Woche durfte ich lesen, dass ein Vorteil der digitalen Whiteboards nebst Tablet-Klassen (neben der Tatsache, dass man die Tafel nicht mehr putzen muss - ungelogen, isch schwör) darin läge, dass man als Lehrer den Schülern den Tafelanschrieb direkt auf das Tablet schicken kann. Ich bin mir ziemlich sicher, dass es Studien gibt, die beweisen, dass die Schüler sich dann statt auf das Schreiben auf den Inhalt konzentrieren.

Gestern dann der zweite Artikel über die nächste Schule, die sich an den digitalen Tropf hängt. Ich zitiere:

    "Was macht ihr mit den neuen Wandtafeln besonders gerne?",
      möchte Anita Stark wissen. Die Schülerstimmen überschlagen
      sich förmlich, als sie der Rektorin zurufen: "Filme schauen", 
      "zusammen Internet gucken", "mit den Händen schreiben".
      Dieser Unterricht scheint den Sechstklässlern tatsächlich
      viel Spaß zu machen.

Daran zweifle ich nicht; allerdings verstehe ich im Zusammenhang mit "Filme schauen", "Internet gucken" und "mit den Händen schreiben" das Wort "Unterricht" nicht ganz. Aber so ist das halt, wenn man ein Fossil ist.

Der zweite Nachteil als fossiler Lehrer ist, dass man sich noch an Zeiten erinnern kann, als man im Mathematikunterricht noch Mathematik unterrichtet hat und nicht den Modellierungsscheißdreck, mit dem uns die moderne Didaktik beglückt hat. Man mag das als Junglehrer nicht glauben, aber in den 1980er Jahren war es möglich, Abituraufgaben zu stellen, in denen man ohne einen einzigen Operator eindeutige Fragen stellen konnte, auf die es eine eindeutige und richtige Antwort gab. In Zeiten des Relativismus (hat nicht jeder ein bisschen recht?) ist das eigentlich nicht gewollt, trotzdem muss man inzwischen die Schüler dazu bringen, den Operatorenkatalog auswendig zu lernen, damit sie den Unterschied zwischen berechnen, bestimmen und ermitteln bzw. zwischen begründen und erläutern begreifen. Da hat man dann was Eigenes, und sei es nur ein Jodeldiplom.

Weil wir dieses Jahr das erste Mal seit 2004 wieder ein Abitur ohne den GTR schreiben, bin ich auf der Suche nach geeigneten Aufgaben auf solche aus Ländern gestoßen, die den GTR nicht wie wir in BaWü aus didaktischen Gründen 2004 eingeführt und aus didaktischen Gründen (isch schwör!) 2019 wieder abgeschafft haben. Vielleicht liegt es an meinem wenig glücklichen Händchen, dass ich deswegen fast jede Stunde vor meiner Klasse stehe und zugeben muss, dass ich auch nicht weiß, was gefragt ist. Grund zur Scham, löbe Schöler,  ist das für mich nicht, jedenfalls wenn ihr die folgenden drei Tatsachen berücksichtigt:

  1. Was ihr in der Oberstufe in Mathematik gelernt habt, hat mit Mathematik nichts zu tun.
  2. Was ihr in der Oberstufe in Mathematik gelernt habt, hat mit Mathematik nichts zu tun.
  3. Was ihr in der Oberstufe in Mathematik gelernt habt, hat mit Mathematik nichts zu tun.

Beginnen wir also mit der Aufarbeitung meines Versagens bei der heute besprochenen Aufgabe aus dem Grundkurs Mathematik, Berlin 2016. Wirklich schwer ist die Aufgabe nicht; den Großteil davon habe ich seinerzeit in einer Klausur für die 10. Klasse verwendet.

Die Einkleidung ist bekannt:

    Nach der Einnahme eines Medikaments geht der Wirkstoff  des 
    Medikaments in das Blut über, wobei sich die Konzentration
    des Wirkstoffs im Blut mit der Zeit verändert.

Diese Konzentration wird, weil es eine Grundkursaufgabe ist, nicht von einer Exponentialfunktion, sondern von einem Polynom f(t) dritten Grades beschrieben, wobei die Zeit in Stunden nach der Einnahme und f(t) in μg/l angegeben ist. In Teil d) kommt ein zweites Medikament ins Spiel, dessen Konzentration im Blut durch ein zweites kubisches Polynom k(t) angegeben wird. In Teilaufgabe f) wird eine etwas seltsame Frage gestellt:

      Beschreiben Sie anhand der Graphen von f und k 
      drei Unterschiede in der zeitlichen Entwicklung der 
      Konzentration der Medikamente.

Wenn Sie sich fragen, was das mit Mathematik zu tun hat, zählen Sie auch zum fossilen Teil unserer Gesellschaft. Wie so oft kommt das Beste zum Schluss:

     Der Pharmakonzern behauptet: „Vom Medikament f
     wird etwa doppelt so viel Wirkstoff aufgenommen 
     wie vom Medikament k.“

      Erläutern Sie, wie diese Behauptung überprüft werden 
      könnte.

Nun ist es eine Frechheit, die Aussage eines Pharmakonzerns anzuzweifeln. Pharmakonzerne, das haben sie mit Didaktikern gemeinsam, gewinnen ihre Wahrheiten nämlich aus der Auswertung von Studien, die sie selbst durchführen. Insektensterben kommt also nicht etwa von Glyphosat, sondern vom Frontalunterricht.

Spaß beiseite - stellen wir uns vor, wir sind Abiturienten in Berlin und sitzen vor dieser Aufgabe. Eine mögliche Antwort wäre zu sagen, dass f und k keine Medikamente, sondern Polynome sind. Ob wir damit vor den Augen des Zweitkorrektors Gnade finden würden, darf aber bezweifelt werden.

Aber wir wissen, was mit f und k gemeint ist, nämlich die Medikamente, deren Konzentration durch die Funktionen f und k beschrieben werden, oder zumindest beschrieben werden können.
Was tun? Ich pflege meinen SuSen (ich gendere nur im Sarkasmusmode) beizubringen, auf die Einheiten zu achten. Gegeben sind Funktionen, deren Einheit μg/l sind, gesucht ist die Menge an Wirkstoff, die vermutlich in μg gemessen wird. Also müssen wir die Konzentration mit einer Menge multiplizieren, nämlich mit der Menge an Blut des Patienten. Allerdings tun sich hier zwei Schwierigkeiten auf: Die Konzentration ändert sich mit der Zeit, und die Blutmenge ist nicht gegeben.

Was tun? Nun ja, im Ernstfall würde ich folgende Überlegung vorschlagen: Ich sitze im Abitur vor der Analysis-Aufgabe, und bisher habe ich nicht integriert. Also wird man die beiden Funktionen wohl über ihre Definitionsbereiche integrieren müssen.
Das ist in der Tat genau das, was der Erwartungshorizont vorschlägt (den findet man nicht im Netz). Ich zitiere:

     Überprüfung der Behauptung:
     Berechnet wird jeweils die Größe der Flächen unter den
     Graphen von f und k durch Integration. Diese Flächen
     gelten als Maß für die verfügbare Wirkstoffmenge. Wenn
     Af ≈ 2 ⋅ Ak gilt, ist die Behauptung des Pharmakonzerns 
     korrekt.

  Die Größe A, die hier als Maß für die verfügbare Wirkstoffmenge deklariert wird, hat die Einheit μg h/l. Was in solchen Einheiten gemessen wird, weiß ich nicht, die Wirkstoffmenge, egal ob verfügbar oder nicht, ist es jedenfalls nicht. Auch nicht ungefähr, wenn man sich klar macht, was in Extremfällen passiert. Nehmen wir beispielsweise ein Medikament, von dem wir intravenös so viel spritzen, dass ab Beginn die Konzentration 1 μg/l beträgt. Nehmen wir weiter an, das Medikament wird vom Körper gar nicht abgebaut; dann bleibt die Konzentration gleich. Wenn man dann die konstante Funktion integriert, kommt bei hinreichend großem Intervall jede beliebige Zahl als "Maß für die verfügbare Wirkstoffmenge" vor; eine physikalische Bedeutung hat diese Zahl aber nicht, außer man teilt sie durch die Dauer, dann erhält man die mittlere Konzentration.

Nimmt man umgekehrt ein Medikament, das praktisch sofort abgebaut wird, dann kann man das Integral beliebig klein machen. Rückschlüsse auf die Wirkstoffmenge kann man daraus nicht ziehen.

Ich habe mir auf einer der vielen überflüssigen Fortbildungen, die man als Fossil über sich ergehen lassen muss, gelernt, dass die Rekonstruktion eines Bestands aus der Änderungsrate deswegen so wichtig ist, weil Schüler früher gedacht hätten, Integrale seien nur zum Berechnen von Flächen gut. Dieses Problem, dass die Schüler weniger verstehen als die Lehrer, scheinen wir heute nicht mehr im selben Ausmaß zu haben: offenbar haben die Aufgabensteller in Berlin und die Leute, welche die Aufgabe geprüft haben, diesen Kardinalfehler gar nicht mehr bemerkt, weil sie in dem Schema gefangen sind, wonach Flächen unter derartigen Funktionen immer ein Maß für die Wirkstoffmenge sind. Die Aufgabensteller machen sich nicht einmal mehr die Mühe, die Einheiten zu kontrollieren und demonstrieren ihre Inkompetenz in einem Ausmaß, das wahrscheinlich nur mich erschreckt. Und meine fossilen Kollegen.

Ich gebe zu, dass ich nur deswegen so oft auf dem Wort fossil herumgeritten bin, um jetzt eine Ausrede zu haben, auf eine ganz wunderbare Coverband hinzuweisen, die es inzwischen nicht mehr gibt (und die anscheinend zu Zeiten, als sie noch Musik gemacht haben, nur auf Parkplätzen und in Fastfood-Restaurants gespielt haben). Ich rede von Foxes and Fossils; zwei ihrer besten Covers sind im Original von Stephen Stills (with a little help from David Crosby und Graham Nash): Suite Judy blue eyes und Helplessly Hoping.

Kommentare:

  1. Warum werden in diesen "modernen" Schulaufgaben eigentlich ständig die Einheiten schon im Aufgabentext erwähnt bzw. herausdividiert? Würde man die Einheiten ganz normal mitführen, würden solche Probleme gar nicht erst entstehen.

    Es ist doch furchtbar fehleranfällig zu sagen, dass t unbedingt in Sekunden, Stunden, 1 Nanometer/Lichtgeschwindigkeit oder in Was-auch-immer angegeben werden muss und dann das Ergebnis in μg/L herauskommt. Niemand kann mehr herausfinden, ob Ergebnisse beim Herumrechnen zumindest von den Einheiten her zusammenpassen.

    Aber eigentlich sind Einheiten eher im Physikunterricht relevant, in Mathe würde man ohne die Einkleidung komplett auf alle Einheiten verzichten können und, um es in Politikersprech zu sagen, die Mathematikaufgaben könnten endlich wieder auf das Wesentliche entrümpelt werden!

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  2. Das toppt an Dummheit ja sogar noch meine Lieblingsaufgabe aus NRW, bei der eine Rollstuhlrampe an den Gizeh-Pyramiden aufgeschüttet werden soll.

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  3. Hört sich interessant an -) Von wann ist die?

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  4. www.ziemke-koeln.de/unterricht/mathematik/diverses/zentralabitur/nrw-za-m-beispielaufgaben-teil2.pdf Auf Seite 54 Teil c). Leider war es doch 'nur' eine Rampe!

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    1. Schön (doof!) ist aber auch die Aufgabe danach mit der binomialverteilten Anzahl von Walnüssen im Salat.

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