Mathematik down under

 In Australien haben Sie noch Angebote an Gymnasiasten, von denen wir in Deutschland nur träumen können, etwa den VCE specialist-Zweig, in dem komplexe Zahlen, Differentialgleichungen, Integrationstechniken und auch Beweise behandelt werden. Für Letzteres gibt es jetzt Anweisungen für Lehrer, damit die das auch richtig machen. Und da hört der Unterschied zu Deutschland dann auch auf: Hier wie dort sitzen an den entscheidenden Stellen Idioten.

Und es ist nicht so, dass man das nicht beweisen könnte. Im obigen Pamphlet geht es um Beweise durch Widerspruch. Und die führt man so:

• Assume that the given statement is false – write a statement which contradicts the statement which is to be proven.
• Nimm an, dass die gegebene Aussage falsch ist - schreibe eine Aussage, welche der zu beweisende Aussage widerspricht.

Das ist Unsinn. 1 = 2 ist eine Aussage, die jeder zu beweisenden Aussage widerspricht, und das hinzuschreiben hilft nie. Was man hinschreiben sollte ist das Gegenteil der zu beweisenden Aussage. 

• Prove that the written (contradictory) statement is false.
• Zeige, dass die aufgeschrieben Aussage falsch ist.

Ist, wie gesagt, geschenkt.

• We can then conclude that if the contradictory statement is false, the original statement has been proven to be true.
• Wir können dann folgern, dass wenn die widersprüchliche Aussage falsch ist, die ursprüngliche Aussage als richtig bewiesen ist.

Eben nicht. In Teaching Example 1 kommt ein Beispiel: Man soll zeigen, dass \(n^3+1\) gerade ist, wenn \(n\) ungerade ist. Das ist, gelinde gesagt, ein bescheuertes Beispiel, weil man dazu keinen Beweis durch Widerspruch braucht: Mit \(n\) ist auch \(n^3\) ungerade und folglich \(n^3+1\) gerade. Was erstaunlich ist, ist dass der Vorzeigebeweis gar kein Beweis durch Widerspruch ist. Vielmehr geht der Beweis so: Man zeigt, dass \(n^3+1\) gerade ist und vollendet den Beweis dann dadurch, dass man annimmt, \(n^3+1\) sei ungerade, was der Annahme aber widerspricht.

Noch großartiger ist der Beweis, dass \(\log_e(5)\) irrational ist. Die Aussage selbst ist richtig und beruht auf der Tatsache, dass \(e\) transzendent ist. Dass \(\log_{10}(5)\) irrational ist stimmt auch, und kann sogar elementar bewiesen werden: aus \(log_{10}(5) = \frac pq\) folgt ja \(10^p = 5^q\), und weil die rechte Seite ungerade ist, muss \(p = 0\) sein, was aber Unsinn ist. 

Die australischen Mathematikexperten schlagen für den Beweis der Irrationalität von  \(\log_e(5)\)  folgende Methode vor: Aus   \(\log_e(5) = \frac ab\) folgt \(e^a = 5^b\);  

• The right side is divisible by 5, the left side is not which is a contradiction.
• Die rechte Seite ist durch \(5\) teilbar, die linke Seite nicht, was ein Widerspruch ist.

Wer so etwas schreibt, kann ja nicht einmal den Beweis der Irrationalität von \(\sqrt{2}\) verstanden haben. Das Peter-Prinzip in Reinform.