Sonntag, 14. März 2021

Der Untergang des Abendlandes

 Axel Goy, der Herausgeber und Mitautor des hier schon wiederholt gewürdigten Buchs Mathe.Delta 11,12 Basisfach (BW), hat auf die Besprechung des Buchs durch Herrn Kühnel und mir reagiert. Den Herausgebern der Mitteilungen der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik hat die Besprechung im Nachhinein nicht recht gefallen; den zweiten Teil, in dem wir das Pendant aus dem Hause Klett besprochen haben, hat es abgelehnt, und zwar wegen "zu viel Schulpolitik". Künftig, so hat man uns wissen lassen, will man gar keine Rezensionen mehr abdrucken.

Aus diesem Anlass sei hier noch einmal die mathematische und didaktische Kompetenz der Delta-Autoren angezweifelt, heute an Hand ihrer Herleitung der Formel für den Winkel zwischen zwei Vektoren auf Seite 262 des Werks.

Betrachten wir zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\), die denselben Anfangspunkt besitzen. Den kleineren der beiden entstehenden Winkel bezeichnen wir als Winkel zwischen den Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\). 

Den Schülern wäre vielleicht geholfen, wenn man ihnen mit einer Skizze erklärt, welches die beiden Winkel sind, welche von zwei Vektoren gebildet werden. Das Buch gibt nur die folgende Skizze:


Der andere Winkel ist der folgende:



Wir verbinden die Enden der Vektoren und erhalten ein allgemeines Dreieck.

Was ist ein allgemeines Dreieck? Eines, das auch ein Zweieck sein kann, wenn die beiden Vektoren parallel sind? 

Durch Einzeichnen einer senkrechten Hilfslinie erhalten wir ein rechtwinkliges Dreieck.

Wie kann eine Hilfslinie senkrecht sein? Sollte das nicht heißen, dass die Hilfslinie senkrecht auf die Seite steht, die vom Vektor \(\vec{a}\)  repräsentiert wird? Was spricht dagegen zu sagen, dass man die Höhe auf die Seite a einzeichnet? Und erhält man nicht zwei rechtwinklige Dreiecke? Fragen über Fragen.

Wir können den Vektor \(\vec{b}\)  also ausdrücken durch einen Vektor \(\vec{b}_1\) , der gleichgerichtet ist wie \(\vec{a}\) , und einen Vektor \(\vec{b}_2 \) , der senkrecht zu \(\vec{a}\)  steht. 

Wir bilden das Produkt  

\(\vec{a}\cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (\vec{b}_1 + \vec{b}_2) = \vec{a} \cdot vec{b}_1 + \vec{a} \cdot \vec{b}_2\). 

Da \(\vec{b}_2\) orthogonal zu  \(\vec{a}\) steht,  gilt: \(\vec{a} \cdot \vec{b}_2 = 0\), folglich :

 \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b}_1 = \vec{a} \cdot k \cdot \vec{a} = k \cdot \vec{a} \cdot \vec{a}\). Das Skalarprodukt  \(\vec{a} \cdot  \vec{a} \) ergibt:  \(|\vec{a}|^2 =  |\vec{a}| \cdot  |\vec{a}| \). Da \( k > 0 \) ist, gilt: \( k \cdot |\vec{a}| = |k \cdot \vec{a}|  = |\vec{b}_1 | \). 




Wo kommt das \( k \) plötzlich her? Offenbar ist \( \vec{b}_1 = k \cdot \vec{a} \). Das hätte man vielleicht definieren sollen. Warum aber soll \( k > 0 \) sein? Das ist genau dann der Fall, wenn der gesuchte Winkel \( \phi \) zwischen \( 0^\circ \) und \( 90^\circ \) liegt. 

Wir wenden nun den Cosinus an und erhalten: \( \cos \phi = \frac{|\vec{b}_1|}{|\vec{b}|}, \), also \(|\vec{b}_1| = |\vec{b}| \cdot \cos \phi \). Insgesamt ergibt sich:

\[  \vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a}| \cdot |\vec{b}_1| =  | \vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\phi) \]

bzw. 

\[   \cos \phi =  \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{| \vec{a}| \cdot |\vec{b}| } . \]

Dann wird der Satz formuliert, wonach die letzte Formel den Winkel \( \phi \) zwischen den Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) liefert, und dass \( 0^\circ \le \phi \le 180^\circ \) ist. Ich habe nicht nachgezählt, wie oft im Beweis zwischen \( 0^\circ \le \phi \le 180^\circ \) und \( 0^\circ < \phi < 90^\circ \) bzw. zwischen \( \vec{a} \cdot \vec{b} > 0\)  und \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) beliebig hin und hergesprungen wurde. Es hat den Anschein, als hätten die Autoren irgendwas abgeschrieben, aber nicht verstanden. Dazu passt der folgende Nachtrag:

Damit können wir den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen. Außerdem haben wir eine weitere Definition für das Skalarprodukt der Vektoren  \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) kennen gelernt:  \(\vec{a} \cdot \vec{b}  =  | \vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\phi) \). Dass diese Definition mit der uns bisher bekannten übereinstimmt, sehen wir, wenn wir orthogonale Vektoren betrachten. 

Nein, das sehen wir nicht. Man kann die Gleichung  \(\vec{a} \cdot \vec{b}  =  | \vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\phi) \) nicht dadurch beweisen, dass man annimmt, die beiden Vektoren wären orthogonal. Dass man diesen Fall gesondert betrachten muss, liegt daran, dass in diesem Fall die ominöse Größe \( k \) gleich 0 wird. Genauso muss man den Fall gesondert behandeln, in welchem die beiden Vektoren parallel sind, weil sich in diesem Fall kein Dreieck ergibt. Der Nachtrag ist also, und das hat keiner der Autoren bemerkt, Teil des Beweises. Die Vorzeichenprobleme der Autoren halten sich bis ganz zum Schluss; dort wird behauptet:

Sind zwei Vektoren kollinear ( \( \phi = 0^\circ\) bzw. \( \phi = 180^\circ\) ), also \( \cos(\phi) = 1 \), so gilt:  \(\vec{a} \cdot \vec{b}  =  | \vec{a}| \cdot |\vec{b}|  \)

In normalen Schulbüchern ist \( \cos (180^\circ) \) nicht gleich 1. 

Zum Schluss wird der Beweis für Winkel \( \phi < 90^\circ \) noch einmal (jedenfalls wenn man den ersten Versuch als Beweis durchgehen lassen will) geführt, mit der Bezeichnung \( \vec{b}_a\) statt \( \vec{b}_1\); was das soll, habe ich nicht verstanden.

Ganz zum Schluss wird der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Geraden bestimmt:

\[   \cos \phi =  \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b} |}{| \vec{a}| \cdot |\vec{b}| } . \]

Einziger Kommentar: Die Betragsstriche im Zähler sorgen dafür, dass wir den kleineren der beiden Winkel erhalten. Den kleineren welcher beiden Winkel? Mir schwant, dass die Autoren den Unterschied zwischen Winkel zwischen Vektoren und Winkel zwischen Geraden nicht ganz verstanden haben; beim einen wählt man \( \phi \le 180^\circ \), beim andern \( \phi \le 90^\circ \). Das sollte man den Schülern vielleicht erklären. Dazu müsste man die Sache aber erst einmal selbst verstanden haben.


Der Lösungsband für das Basisfachbuch ist für das dritte Quartal angekündigt; Ausschnitte daraus stehen schon online. Ob der den Basisfachlern viel hilft, sei dahingestellt:


Damit wollen die Autoren beweisen, dass der Grad eines Polynoms beim Aufleiten immer um 1 zunimmt. Nun ist die Stammfunktion aber falsch (außer für n = 0), ein Beispiel ist kein Beweis, und die Aussage stimmt auch nicht für das Nullpolynom. So kann man sich irren. 



Mittwoch, 17. Februar 2021

Rush Limbaugh . . .

. . . ist gestorben.  Statt Blumen die letzten Zeilen aus Dylan's Masters of War:

I'll follow your casket

By the pale afternoon

And I'll watch while you're lowered

Down to your deathbed

And I'll stand over your grave

'Til I'm sure that you're dead

Donnerstag, 21. Januar 2021

IFO-Querdenker Wößmann

 "Schulausfall kostet zukünftige Generationen bis zu 3,3 Billionen Euro", titelt der Spiegel, das Handelsblatt redet von "Corona-Schäden am Humankapital". Ein Herr Wößmann vom IFO-Institut hat ausgerechnet, dass 18 Wochen Schulschließungen künftige Generationen 3,3 Billionen Euro kostet. Also 3300 Milliarden. Weil Journalisten zu 99,9 % von Mathematik nicht nur keine Ahnung haben, sondern sie für ihren Beruf als vollkommen irrelevant empfinden, fragen sie auch nicht nach, wie der gute Mann auf solche Zahlen gekommen ist. Man wird es ihm halt glauben müssen. Beschämender allerdings ist, dass sie auch nicht nachfragen, was die 40 Wochen gestrichener Schulunterricht bei der Umstellung von G9 auf G8 kosten wird, welche die Wirtschaft seinerzeit vehement gefordert hat. Das macht nach einem Dreisatz etwa 7 Billionen Euro, und zwar nicht nur einmal wie bei Corona, sondern regelmäßig, weil G8 jeder Generation ein ganzes Schuljahr wegnimmt.

Wo bleibt der Aufschrei? Kommt nicht? Weil es gar nicht um wirtschaftliche Benachteiligung der Kinder geht, sondern darum, Schulen und Kitas unabhängig von Inzidenzwerten (Eisenmann) offenzuhalten und gleichzeitig als einzigen Schutz vor Corona Fenster-öffnen und in-die-Hände-klatschen zu empfehlen?

Dienstag, 12. Januar 2021

Lehrer Schmidt

Unterrichten auf Distanz ist keine leichte Sache - da kommt man schon mal auf den Gedanken, bei youtube nachzusehen, was es für Videos etwa zum physikalischen Begriff der Leistung gibt. Geben tut es, wie ich schnell gemerkt habe, Dutzende. Aber allesamt sind sie dröge, langweilig, und fürchterlich schlecht gemacht. 

Schlimmer als dröge, langweilig, und fürchterlich schlecht gemacht sind dann Videos, die einfach nur falsch sind. So eines ist dasjenige von Lehrerschmidt zum, ich zitiere, "Umrechnen von Joule und Watt". Gleich zu Beginn erklärt Herr Schmidt (seines Zeichens Lehrer und Schulleiter einer Oberschule in Niedersachsen), dass er zeigen wird, wie man Joule in Watt und Watt in Joule umrechnet. Das ist in etwa so mutig wie die Behauptung, man könne Sekunden in Meter und Meter in Sekunden umrechnen - immerhin kann man Letzteres physikalisch noch vertreten, weil die Lichtgeschwindigkeit einem Satz wie "Melden Sie sich in 150 Millionen km wieder" tatsächlich ein wenig Sinn gibt. 

In den Kommentaren hat ein Udo Maier moniert, man könne Watt nicht in Joule umrechnen, und Lehrer Schmidt hat vor zwei Jahren versprochen, das zu ändern. Offenbar hat er Besseres zu tun gehabt. Etwa sich für Kommentare zu bedanken, in denen er von Schülern, die kaum ein Wort Deutsch können, über den grünen Klee gelobt wird.

Sehen wir mal darüber hinweg, dass er nicht Joule in Watt, sondern in Wattsekunden umrechnet, und beginnen wir mit dem Video. Zu Beginn schreibt er Joule und Watt im SI-System:


Mich nervt da schon, dass der gute Mann den Bruchstrich nicht auf die Höhe des Gleichheitszeichens schreiben kann (auch in anderen Videos nicht). Dann wird gekürzt:

Offenbar kann der Lehrer Schmidt, was viele Schüler auch können: Brüche, die irgendwo rumstehen, mit anderen kürzen, die ganz woanders stehen.  Die übrig gebliebenen Gleichungen 1 J = 1 und \(1 W = 1 \frac 1s\) verknüpft er dann gekonnt zu \(1 J = 1 Ws\). Warum er überhaupt so tut, als gäbe es hier irgendwas zu erklären, entzieht sich mir völlig. Leistung ist als Energie pro Zeit definiert, und ein Watt ist per definitionem ein Joule pro Sekunde. Wie jemandem, der diese einfache Definition nicht versteht, mit dem Schmidtschen "Ausrechnen" geholfen ist, erschließt sich mir ebensowenig.

Auch andere Schülersünden gibt Lehrer Schmidt gekonnt weiter:


Wie oft habe ich meinen Schülern schon erklärt, dass \(2 \cdot 3 = 6 \cdot 4 = 24\) schlicht und ergreifend falsch ist, weil links 6, rechts 24 und dazwischen ein Gleichheitszeichen steht. Jetzt weiß ich wenigstens, wer ihnen das beigebracht hat: Lehrerschmidt! Der macht das wirklich am laufenden Band:


Die meisten finden das alles super erklärt, besser als beim eigenen Lehrer allemal. Nur  Tobias Schiegl rafft es noch nicht: 

        Hey. Könnten sie mir helfen indem sie die folgenden Zahlen in Wmin, KWh und J umrechnen da ich nichts verstanden habe.

Es besteht also noch Hoffnung. Allerdings nicht, was Lehrer Schmidt angeht: der ist, und das habe ich nicht erfunden, seit April 2020 neuer "Mathe-Botschafter der Stiftung Rechnen".