Bluna und Antibluna

Man kann heutzutage an Universitäten lernen, wie man sich als Opfer fühlt, um die ganzen Schwierigkeiten, die einem das Leben bereithält, auf andere schieben zu können. Egal ob man Frau, schwarz, jung, trans, lesbisch oder am besten gleich alles zusammen ist, immer gibt es einen Schuldigen, von dem man unterdrückt wird. Mit einer Ausnahme natürlich: alte weiße Männer. Die braucht man deswegen, weil man sonst mit dem Finger auf niemanden mehr zeigen kann.

Diese Einteilung der Menschheit in gute und schlechte ist jetzt auch in der Mathematik angekommen. Die ist nämlich, man ahnt es, durch und durch rassistisch, weil sie von alten weißen Männern gemacht ist:



(Das Foto dieses alten weißen Manns wurde am Tag gemacht, nachdem er sich auf dem ganz frisch eröffneten AFD-Bespitzelungsportal selbst denunziert hatte.)

Prof. Dr. Rochelle Guttiérez, die victimhood unterrichtet, beklagt sich hier darüber, dass die Alt-Right-Bewegung ihre Behauptung, Mathematik sei weiß, nicht zu würdigen wusste. Ich bin beim Lesen ihrer Klageschrift nur bis zu Fußnote 2 gekommen:

        I use the term Latinx (as opposed to Latino, Latina/o, or Latin@) as a sign of 
        solidarity with people who identify as lesbian, gay, bisexual, transgender, queer, 
        questioning, intersexual, asexual, and twospirit (LGBTQIA2S). 
        Latinx represents both a decentering of the patriarchal nature of the Spanish
        language whereby groups of men and women are normally referred to with 
        the “o” (male) ending as well as a rejection of the gender binary and an 
        acceptance of gender fluidity.

Ui. Wir Männer sind also auch noch an der patriarchalen Sprache schuld, weil wir damals, als wir sie entwickelt haben, die Geschlechtsflüssigkeit (kann man das so übersetzen?) nicht berücksichtigt haben. Vermutlich, wie der Schwabe sagt, mit Fleiß.

Das beste Forum bietet den Soziologieprofessoren der Sender Fox (ansonsten ein grausliger Sender, aber der einzige, der nackte Kaiser nackt nennt), der solche Geistesgrößen mit schöner Regelmäßigkeit vorführt. Hier etwa; die Einstiegsfrage ("ich bin schlecht in Mathe: bin ich zu doof, um Rassist zu sein?") und die Unverschämtheit, dass die Frau nicht mit Doktor angesprochen wurde, findet man hier:

Ich habe keine Ahnung, ob es den Gender-Sprachspezialistinnen schon einmal aufgefallen ist, dass der Artikel für Männer in "die Männer" weiblich ist. Vermutlich nicht, weil sich Gendermännchen bisher noch nicht darüber beschwert haben. Kommt aber sicher noch.

Nun ist ja auf youtube und fox alles mögliche zu finden. In der "richtigen" Wissenschaft auf "richtigen" Universitäten und "richtigen" science-blogs dagegen . . .  findet man denselben Käse.
Herr(?) Dr. Tian An Wong fragt etwa auf der Seite der  AMS (American Mathematical Society), ob Mathematik anti-rassistisch sein kann, und fühlt sich durch den Satz des Pythagoras und der Zahl pi benachteiligt:

      School mathematics curricula emphasizing terms like Pythagorean theorem
       and pi perpetuate a perception that mathematics was largely developed by 
       Greeks and other Europeans.

Wenn es denn nun aber so war? Natürlich haben auch Babylonier und Ägypter ihren Teil beigetragen, aber die erwähnt man besser nicht, sonst kann man nicht mehr so laut "Ich bin ein Opfer" rufen. Dass dieser Kasper auch noch Chanda Prescod-Weinstein zitiert, die mit Abstand d***ste Astrophysikerin aller Zeiten, ist da keine Überraschung mehr. 

Vanessa Rivera-Quinones zitiert Wong auf derselben AMS-Seite und verspricht gar eine Definition von Anti-Rassisten, die sie von  Ibram X Kendi hat. Nun könnte man meinen, eine Mathematikerin wüsste, was eine Definition ist, selbst wenn sie bisher eher in Sachen diversity aufgefalllen ist als mit ihren partiellen Differentialgleichungen, die sie eigentlich studieren sollte. Ist aber nicht so:

      There is no such thing as a “not-racist” policy, idea, or person.

      [. . . ] All policies, ideas, and people are either being racist or antiracist.

Das ist natürlich keine Definition. Das ist dummes Geschwätz. Kann ich auch, ohne mich anzustrengen: Man ist entweder Alkoholiker oder Antialkoholiker. Veganer oder Antiveganer. Leute, die in Schubladen denken, sind schlimm genug. Wenn man nur zwei Schubladen hat, spricht man von Schwarz-Weiß-Denken, selbst wenn der Autor schwarz ist. Die Hautfarbe von Pierette McKamey, einer Schulleiterin in San Francisco, kenne ich nicht, aber man kann auch so sagen, dass sie die rassistischste  Antirassistin ist, der ich bisher über den Weg gelaufen bin:

        Anti-racist teachers take black students seriously. They create a curriculum with 

       black students in mind,

Antirassismus ist für Schwarze schreiben. Freiheit ist Sklaverei. Das war auch ein Zitat: George Orwell in 1984.

 

Leben auf fremden Planeten entdeckt!

Was die Astronomie seit Jahrzehnten vergeblich versucht hat, nämlich den Nachweis extraterrestrischen Lebens, ist der Erziehungswissenschaft jetzt gelungen. Professor Dr. Ullrich Bauer, Erziehungswissenschaftler an derjenigen Fakultät, die  Heymann in den 90er Jahren mit seinen Thesen zu "Sieben Jahre Mathematikunterricht ist genug" habilitiert hat, sagt in einem Spiegel-Interview:

      Es gibt eine Tabuneigung im Bildungsbereich: Man kritisiert 
      die Arbeit von Lehrkräften nicht.

Ganz offensichtlich kann dieser Bildungsforscher nicht vom Planeten Erde stammen. Schade, dass es sich hierbei offenkundig nicht um eine intelligente Lebensform handelt.

Mathe-Abi 2020

Wie jedes Jahr stehen die Aufgaben aus Bayern zwei Tage nach dem Abitur im Netz, und auf youtube findet man Videos mit den Lösungen (und Links zu den Originalaufgaben), während es in Baden-Württemberg Diskussionen um die Gültigkeit des Abiturs gibt, wenn die Aufgaben vor September bekannt werden. Föderalismus vom Feinsten.

Weil die Berliner Aufgaben aus dem IQB-Pool entnommen haben, musste BW eigene Aufgaben machen, oder sie haben sich beim Nachtermin bedient. Nichts genaues wird man nicht erfahren.

Zur vieldiskutierten Palmenaufgabe sei daher nur folgendes angemerkt: dass die Aufgabenstellung mathematisch korrekt gewesen sei, wie ein Lehrer das behauptet hat, entspricht nicht den Tatsachen. Gegeben war eine Funktion
      w(t) = 4(e^-t - e^-2t),
welche die Wachstumsgeschwindigkeit einer Palme beschreiben soll. Eine Frage in Aufgabenteil b) war:

       Untersuchen Sie, welche Höhe die Palme maximal erreichen kann.

Das ist mathematisch die Frage nach dem Maximum der Höhe. Ein solches Maximum gibt es aber nicht. Was es gibt, ist eine kleinste obere Schranke oder ein Grenzwert für die Höhe, wenn t gegen unendlich geht. Danach kann man fragen. Die Frage nach einem Maximum, das es gar nicht gibt, ist böswillig. Die einzige Absicht dahinter ist es, Schüler so weit wie möglich zu verwirren (denkbar wäre natürlich auch, dass die Aufgabensteller den Unterschied zwischen Maximum und kleinster oberer Schranke nicht kennen - ich glaube aber an die Böswilligkeit, denn das ist ja nicht mein erstes Abitur). Mein Vorschlag für BaWü: übernehmt den Lehrplan von Bayern und deren Abitur. Die können es besser als wir.

Ansonsten waren die Aufgaben vom Anspruch her vergleichbar mit denen der letzten Jahre, das sehr leichte Abi von 2019 ausgenommen. Und in diesen letzten Jahren hat sich BaWü zum Schluss auf einen Landesschnitt von unter 6 Punkten zubewegt (wieder mit Ausnahme von 2019).

Mathe.delta Verständniswettbewerb Runde 2

Die heutige Aufgabe (S. 67, Aufg. 21) ist schwieriger als die gestrige. Ich habe nicht herausbekommen, was gemeint gewesen wäre:

    a) Wie lautet die n-te Ableitung der Funktion f mit 0,5 · e^x?
         Zeichnen Sie - eventuell mit einem Funktionenplotter -
         die ersten zehn Ableitungen in ein Koordinatensystem.

     b) Leiten Sie aus a) eine Vermutung ab, wie die n-te Ableitung
          der Funktion f mit f(x) = x · e^x aussieht.
          Bestätigen Sie Ihre Vermutung durch Rechnen und Zeichnen. 

Offensichtlich ist die Möglichkeit, dass die Vermutung falsch ist, nicht vorgesehen.

Mathe.delta-Verständniswettbewerb Runde 1

Im Laufe der Jahre gewinnt man als Lehrer so viel Erfahrung, dass man bei den meisten Fehlern, die man von seinen Schülern zu sehen bekommt, weiß, was sie "gedacht" haben, auch wenn in den letzten Jahren Fehler zu beobachten waren, die nicht in dieses Beuteschema passen.

Derartige Fehler, wen wundert es, findet man auch in Mathe.delta 11/12 für das Basisfach "Mathematik" (das waren scare quotes). Bei manchen dieser Fehler bin ich außerstande zu erraten, was im Hirn der Autoren vorgegangen ist. Was liegt also näher als meine Leser zu fragen, ob sie aus diesen Sachen schlau werden.

 Beginnen wir also mit der folgenden schönen Anwendungsaufgabe (Seite 55, 1.3) aus der Lebenswelt der Schüler und Schülerinnen:

        Welcher der folgenden Funktionsterme könnte die Größe (in cm) eines Hundwelpen
         in den ersten Monaten nach der Geburt darstellen? Begründen Sie.
        Welche Realsituation könnten für die anderen Terme in Frage kommen?
 
         a) f(x) = -2^x           b) f(x) = -0,5 · 0,5^x          c) f(x) = 1/3 · 3^x
   
Die Preisfrage: Was stimmt hier nicht, und was haben die Autoren eigentlich fragen wollen? Und für wie doof halten die Autoren ihre Schüler aus dem Basiskurs, wenn sie ihnen a) und b) vorsetzen?

Mathe.delta und Schülersprech

Zu den vielen Fehlern, die man in der Lehrerlaufbahn kennenlernt, gehört der folgende eher zu den seltenen, weil er bei den Lösungen eher am Ende auftritt und nur die besseren überhaupt so weit kommen: -a ist negativ, weil es ein Minuszeichen hat.

Ein verwandter Fehler, der viel öfter vorkommt, weil man ihn am Beginn von Aufgaben macht, ist derjenige, den die Autoren von Mathe.Delta 11/12 BW auf S. 55 vorexerzieren. Dort sollen die Schüler Funktionsterme und Schaubilder zuordnen, aber weil es eine orangene Aufgabe ist, steht die Lösung der Autoren gleich darunter (vermutlich will man sie so auf das künftige Abitur vorbereiten). Jedenfalls geht es um die Funktion f(x) = - 0,5^x; die Argumentation der Autoren ist die folgende:

     Das negative Vorzeichen [ . . . ] bewirkt, dass der Graph an der
     x-Achse gespiegelt ist.

Woran kann man einem Graphen ansehen, dass er an der x-Achse gespiegelt worden ist? Wenn es ein Bild linksdrehender Milchsäuren wäre, könnte man was machen, aber so? Tatsächlich ist es ja andersrum: der Graph von g(x) =  0,5^x ist der an der x-Achse gespiegelte Graph von f. Wobei man sicherlich noch dazufügen könnte, dass es der Graph von h(x) = -2^x ist, den man an x- und y-Achse gespiegelt hat. Für alle, die keine Ahnung haben, worum es geht: mit "an der x-Achse gespiegelt" meinen die Autoren, dass das Schaubild unterhalb der x-Achse liegt. Weil "richtige" ungespiegelte Schaubilder immer oberhalb der x-Achse liegen.

Einen ähnlich unprofessioneller Umgang mit der mathematischen Fachsprache findet man in der Aufgabe 10 auf Seite 20 (die ist blau, die müssen die Schüler selber machen):

        Gegeben sind die Funktion  f₁(x) = (x+3)² - 3 und f₂(x) = -(x-2)² + 2. 
       Bestimmen Sie alle Punkte, an denen die beiden Graphen dieselbe Steigung haben.

Weil alle viel sind, fange ich mal mit zwei Punkten an: im Scheitel (-3|-3) von  f₁ und im Scheitel (2|2) von  f₂  haben die beiden Graphen dieselbe Steigung 0. Natürlich, so gut kenne ich schwammige Formulierungen von Abituraufgaben, war das anders gemeint. Gemeint war, an welchen Stellen beide Graphen parallele Tangenten haben. Gefragt haben sie allerdings was anderes.

Auch die Merkregel für Scheitel von Parabeln auf Seite 10 gefällt mir nicht:

      Hat eine Parabel zwei Nullstellen, liegt der Scheitel in der Mitte der 
      beiden Nullstellen.

Hier stört mich schon die Gleichsetzung von Parabeln mit Funktionen der Form f(x) = ax² + bx + c; Parabeln sind geometrische Objekte, nämlich Kegelschnitte, und lassen sich bei geeigneter Wahl des Koordinatensystems durch  Gleichungen f(x) = ax² + bx + c beschreiben. Auffallen sollte einem der vielen Autoren dann aber doch, dass "in der Mitte der beiden Nullstellen" dann doch etwas arg flapsig formuliert ist. Was sie meinen, ist, dass die x-Koordinate des Scheitels in der Mitte der beiden Nullstellen liegt. Aber lassen wir das.

Wo es aber aufhört, lustig zu sein, ist auf Seite 12. Dort schreiben die Kasper, dass man die Graphen der Funktionen f(x) = x^-n Hyperbeln nennt. Nein, das tut man nicht. Hyperbeln sind Kegelschnitte. Parabeln, Ellipsen und Kreise sind ebenfalls Kegelschnitte. Auch das Schaubild der Hyperbel y=1/x ist ein Kegelschnitt. Alle andern Schaubilder der Form (x) = x^-n sind allerdings keine Kegelschnitte. Sicherlich könnten die Autoren jetzt die Ausrede geltend machen, sie hätten weder auf der Schule, noch auf der Uni gelernt, was ein Kegelschnitt ist, und bei Harry Potter hätten sie das auch nicht gelesen. Das lasse ich gelten. Aber dann, liebe Leute, dann hält man den Ball flach und schreibt kein Lehrbuch über Mathematik.

Didaktik der Analysis II

Noch einmal zurück zu Greefraths Didaktik der Analysis. Ich habe mir inzwischen Artins "Freshman Honors Course in Calculus and Analytic Geometry" besorgt, das deutsche Didaktiker so gerne zitieren (die meisten Treffer, wenn man nach pdfs googelt, in denen das Buch zitiert wird, gehen tatsächlich auf Kosten der deutschen Didaktiker) und  damit das Geschwurbel rechtfertigen wollen, mit dem sie die neuen Lehrbücher in Mathematik angefüllt haben. Artins Buch ist, das wird niemanden überraschen, ein Juwel: auf 70 Seiten präsentiert er meisterhaft den Inhalt einer Anfängervorlesung in Analysis. Schade, dass kaum jemand das Buch kennt.

Was den "propädeutischen Grenzwertbegriff" angeht, den Greefrath an Artin festmachen will, so ist zu sagen, dass Artin den Begriff der Steigung anschaulich erklärt und dann feststellt:

      Wir haben also den undefinierten geometrischen Begriff der Steigung 
     durch den undefinierten numerischen Begriff des Annäherns ersetzt. 
      Eine genaue Definition was mit "nähert sich an" gemeint ist wird später
      im Kurs gegeben werde, wenn Erfahrung Dich dafür bereit gemacht hat.

Auch an allen andern Stellen, an denen er den Beweis auf später verschiebt, klärt Artin seine mündigen Zuhörer auf, dass an dieser Stelle etwas fehlt, dass dies später nachgeholt wird, und erklärt, warum er das macht. Artin als Kronzeuge für eine Schulanalysis zu betrachten, in der alles in der Luft hängt (wo also nicht nur Grenzwerte, sondern auch Extrempunkte, Wendepunkte, Vorzeichenwechsel, Stetigkeit oder Monotonie nicht definiert werden), ist Rufmord. Allein dafür müsste man die moderne deutsche Mathematikdidaktik teeren und federn.

Heute schauen wir uns den Abschnitt 5.3.1 in Greefraths Buch an, das mit "Produktsummenaspekt" überschrieben ist. Mathematiker, die noch nie etwas von Produktsummen gehört haben, können hier etwas dazulernen:

       Unter einer Produktsumme versteht man einen Ausdruck des Typs
                           a₁ · b₁ + a₂ · b₂ + · · · + a_n · b_n.
    Definition und Berechnung des Riemann-Integrals können mithilfe
    von Produktsummen erfolgen.

Hier kann man wieder sehen, dass Didaktiker keine Mathematiker sind. Letztere hätten sicherlich
     a₁b₁ + a₂b₂ + · · · + a_nb_n oder Σ  a_jb_j
geschrieben.  Ich zähle inzwischen nicht mehr mit, wie oft mich meine Schülerinnen darauf hinweisen, ich hätte bei 2(3+4) einen Malpunkt vergessen. Ich habe auch noch keine Abituraufgabe gesehen, in der eine Funktion f(t) = 2e^-t vorgekommen wäre: Es heißt immer f(t) = 2 · e^-t. Dagegen scheint f(x) = 2x keinen Malpunkt zu verlangen. Außer man fasst 2x als Produktsumme auf.

Zurück zum Thema: Ist die Definition da oben eine Definition? Natürlich ist sie das nicht, weil gar nicht gesagt wird, was die a_j und b_j sein sollen. Ist 2 · Äpfel + 3 · Birnen eine Produktsumme? Ich weiß es nicht. Tun wir also mal so, als wären die a_j und b_j reelle Zahlen. Ist dann 1 eine Produktsumme? Eigentlich nicht, denn sonst wäre jede reelle Zahl eine Produktsumme und jede Produktsumme eine reelle Zahl, und man könnte sich die Bezeichnung locker sparen.

Warum muss man einem Ausdruck wie 2·3 + 3·4 eigentlich einen Namen geben? Das ist absolut nicht notwendig, auch nicht im Zusammenhang mit Riemannintegralen. Man hat hier aus einer Trivialität eine Schwierigkeit gemacht, mit der selbst gestandene Mathematiker Probleme haben.

Allerdings soll der Begriff ja einen Mehrwert haben:

      Die Betrachtung der Produktsummen ermöglicht zwei Interpretationen des

     Integrals im Rahmen dieses Aspekts. Da in den Produktsummen sowohl

     Summationen als auch Multiplikationen auftreten, kann jeweils die eine oder die 

      andere Operation betont werden. Die erste Interpretation ist die der verallgemeinerten 

      Summe, die im Rahmen der Kumulationsvorstellung diskutiert wird.

Ich verstehe kein Wort. Die Kumulationsvorstellung, so erfährt man auf S. 254, ist die näherungsweise Berechnung eines Integrals durch Riemannsummen:

         Ein Beispiel zur Förderung der Kumulationsvorstellung ist die Verallgemeinerung 

        der folgenden Definition der physikalischen Arbeit, die zunächst als Skalarprodukt 

       von Kraft- und Wegvektor aufgefasst werden kann: W = F · s

        Ist die Kraft allerdings wegabhängig, so kann für die näherungsweise Berechnung 

        dieses Skalarprodukts die Kraft längs kleiner Wegstücke als konstant

      angenommen und summiert werden.

     Das Integral wird im Sinne der Kumulationsvorstellung also als Produktsumme 

      aufgefasst, in der viele Teilprodukte gesammelt bzw. angehäuft sind. Diese Sicht auf 

      die Summation betont eher den Prozess und nicht das Ergebnis des Integrierens.

Beim Integrieren wird allerdings nicht summiert, weil Integrale Grenzwerte sind. Diese sind aber keine Produktsummen mehr, außer man fasst 1 · ∫ f(t) dt als Produktsumme auf. Dann ist es zwar eine Produktsumme, hat aber nichts mehr mit dem Prozess des Integrierens zu tun.

Das ganze hat natürlich mit Arbeit nichts zu tun und geht genauso mit Flächeninhalten: Das Integral ∫₀^a b  dx  beschreibt die Fläche eines Rechtecks, und die ist ein Produkt, nämlich F = a · b. Ist b dagegen nicht konstant, muss man unterteilen und aufsummieren. Integrale sind also, das haben wir jetzt gelernt, verallgemeinerte Produkte. Das kann man ruhig wiederholen, weil es ist wichtig:

      Die Integration kann also als verallgemeinerte Summation und Integrale können 
      als verallgemeinerte (Größen-)Produkte beschrieben werden.

Bestenfalls ist das Gerede über Integrale, Produktsummen und verallgemeinerte Produkte inhaltsleeres Gefasel, aus dem man nichts, aber auch gar nichts lernen kann.