Sonntag, 14. März 2021

Der Untergang des Abendlandes

 Axel Goy, der Herausgeber und Mitautor des hier schon wiederholt gewürdigten Buchs Mathe.Delta 11,12 Basisfach (BW), hat auf die Besprechung des Buchs durch Herrn Kühnel und mir reagiert. Den Herausgebern der Mitteilungen der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik hat die Besprechung im Nachhinein nicht recht gefallen; den zweiten Teil, in dem wir das Pendant aus dem Hause Klett besprochen haben, hat es abgelehnt, und zwar wegen "zu viel Schulpolitik". Künftig, so hat man uns wissen lassen, will man gar keine Rezensionen mehr abdrucken.

Aus diesem Anlass sei hier noch einmal die mathematische und didaktische Kompetenz der Delta-Autoren angezweifelt, heute an Hand ihrer Herleitung der Formel für den Winkel zwischen zwei Vektoren auf Seite 262 des Werks.

Betrachten wir zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\), die denselben Anfangspunkt besitzen. Den kleineren der beiden entstehenden Winkel bezeichnen wir als Winkel zwischen den Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\). 

Den Schülern wäre vielleicht geholfen, wenn man ihnen mit einer Skizze erklärt, welches die beiden Winkel sind, welche von zwei Vektoren gebildet werden. Das Buch gibt nur die folgende Skizze:


Der andere Winkel ist der folgende:



Wir verbinden die Enden der Vektoren und erhalten ein allgemeines Dreieck.

Was ist ein allgemeines Dreieck? Eines, das auch ein Zweieck sein kann, wenn die beiden Vektoren parallel sind? 

Durch Einzeichnen einer senkrechten Hilfslinie erhalten wir ein rechtwinkliges Dreieck.

Wie kann eine Hilfslinie senkrecht sein? Sollte das nicht heißen, dass die Hilfslinie senkrecht auf die Seite steht, die vom Vektor \(\vec{a}\)  repräsentiert wird? Was spricht dagegen zu sagen, dass man die Höhe auf die Seite a einzeichnet? Und erhält man nicht zwei rechtwinklige Dreiecke? Fragen über Fragen.

Wir können den Vektor \(\vec{b}\)  also ausdrücken durch einen Vektor \(\vec{b}_1\) , der gleichgerichtet ist wie \(\vec{a}\) , und einen Vektor \(\vec{b}_2 \) , der senkrecht zu \(\vec{a}\)  steht. 

Wir bilden das Produkt  

\(\vec{a}\cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (\vec{b}_1 + \vec{b}_2) = \vec{a} \cdot vec{b}_1 + \vec{a} \cdot \vec{b}_2\). 

Da \(\vec{b}_2\) orthogonal zu  \(\vec{a}\) steht,  gilt: \(\vec{a} \cdot \vec{b}_2 = 0\), folglich :

 \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b}_1 = \vec{a} \cdot k \cdot \vec{a} = k \cdot \vec{a} \cdot \vec{a}\). Das Skalarprodukt  \(\vec{a} \cdot  \vec{a} \) ergibt:  \(|\vec{a}|^2 =  |\vec{a}| \cdot  |\vec{a}| \). Da \( k > 0 \) ist, gilt: \( k \cdot |\vec{a}| = |k \cdot \vec{a}|  = |\vec{b}_1 | \). 




Wo kommt das \( k \) plötzlich her? Offenbar ist \( \vec{b}_1 = k \cdot \vec{a} \). Das hätte man vielleicht definieren sollen. Warum aber soll \( k > 0 \) sein? Das ist genau dann der Fall, wenn der gesuchte Winkel \( \phi \) zwischen \( 0^\circ \) und \( 90^\circ \) liegt. 

Wir wenden nun den Cosinus an und erhalten: \( \cos \phi = \frac{|\vec{b}_1|}{|\vec{b}|}, \), also \(|\vec{b}_1| = |\vec{b}| \cdot \cos \phi \). Insgesamt ergibt sich:

\[  \vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a}| \cdot |\vec{b}_1| =  | \vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\phi) \]

bzw. 

\[   \cos \phi =  \frac{\vec{a} \cdot \vec{b} }{| \vec{a}| \cdot |\vec{b}| } . \]

Dann wird der Satz formuliert, wonach die letzte Formel den Winkel \( \phi \) zwischen den Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) liefert, und dass \( 0^\circ \le \phi \le 180^\circ \) ist. Ich habe nicht nachgezählt, wie oft im Beweis zwischen \( 0^\circ \le \phi \le 180^\circ \) und \( 0^\circ < \phi < 90^\circ \) bzw. zwischen \( \vec{a} \cdot \vec{b} > 0\)  und \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) beliebig hin und hergesprungen wurde. Es hat den Anschein, als hätten die Autoren irgendwas abgeschrieben, aber nicht verstanden. Dazu passt der folgende Nachtrag:

Damit können wir den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen. Außerdem haben wir eine weitere Definition für das Skalarprodukt der Vektoren  \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) kennen gelernt:  \(\vec{a} \cdot \vec{b}  =  | \vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\phi) \). Dass diese Definition mit der uns bisher bekannten übereinstimmt, sehen wir, wenn wir orthogonale Vektoren betrachten. 

Nein, das sehen wir nicht. Man kann die Gleichung  \(\vec{a} \cdot \vec{b}  =  | \vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\phi) \) nicht dadurch beweisen, dass man annimmt, die beiden Vektoren wären orthogonal. Dass man diesen Fall gesondert betrachten muss, liegt daran, dass in diesem Fall die ominöse Größe \( k \) gleich 0 wird. Genauso muss man den Fall gesondert behandeln, in welchem die beiden Vektoren parallel sind, weil sich in diesem Fall kein Dreieck ergibt. Der Nachtrag ist also, und das hat keiner der Autoren bemerkt, Teil des Beweises. Die Vorzeichenprobleme der Autoren halten sich bis ganz zum Schluss; dort wird behauptet:

Sind zwei Vektoren kollinear ( \( \phi = 0^\circ\) bzw. \( \phi = 180^\circ\) ), also \( \cos(\phi) = 1 \), so gilt:  \(\vec{a} \cdot \vec{b}  =  | \vec{a}| \cdot |\vec{b}|  \)

In normalen Schulbüchern ist \( \cos (180^\circ) \) nicht gleich 1. 

Zum Schluss wird der Beweis für Winkel \( \phi < 90^\circ \) noch einmal (jedenfalls wenn man den ersten Versuch als Beweis durchgehen lassen will) geführt, mit der Bezeichnung \( \vec{b}_a\) statt \( \vec{b}_1\); was das soll, habe ich nicht verstanden.

Ganz zum Schluss wird der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Geraden bestimmt:

\[   \cos \phi =  \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b} |}{| \vec{a}| \cdot |\vec{b}| } . \]

Einziger Kommentar: Die Betragsstriche im Zähler sorgen dafür, dass wir den kleineren der beiden Winkel erhalten. Den kleineren welcher beiden Winkel? Mir schwant, dass die Autoren den Unterschied zwischen Winkel zwischen Vektoren und Winkel zwischen Geraden nicht ganz verstanden haben; beim einen wählt man \( \phi \le 180^\circ \), beim andern \( \phi \le 90^\circ \). Das sollte man den Schülern vielleicht erklären. Dazu müsste man die Sache aber erst einmal selbst verstanden haben.


Der Lösungsband für das Basisfachbuch ist für das dritte Quartal angekündigt; Ausschnitte daraus stehen schon online. Ob der den Basisfachlern viel hilft, sei dahingestellt:


Damit wollen die Autoren beweisen, dass der Grad eines Polynoms beim Aufleiten immer um 1 zunimmt. Nun ist die Stammfunktion aber falsch (außer für n = 0), ein Beispiel ist kein Beweis, und die Aussage stimmt auch nicht für das Nullpolynom. So kann man sich irren.