Russland 2021

Jetzt also zum "einfachen" Abi 2021. Auch hier keine Garantie für die korrekte Übersetzung der Geometrieaufgaben.

1.  Ermitteln Sie die natürliche Zahl, die durch den Ausdruck \[ \Big( \frac{25}{16} \Big)^{-\frac12} + \frac{\log_3(9^3)}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{15}} \] gegeben ist.
2. Dobrynya ist eineinhalb Mal älter als Aljoscha und eineinhalb Mal jünger als Ilya. Wie alt ist  Dobrynya, wen Ilya 20 Jahre älter ist als Alyosha?
3. Lösen Sie die Gleichung \(\sin x - \cos 2x + \sin 3x = 1\).
4. Lösen Sie die Ungleichung  \[ \log_2 x + \log_2 3 \cdot \log_x 3 + \log_{\sqrt{2}} 3 < 0. \]
5. Ein konvexes Achteck \(A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8\) ist einem Kreis einbeschrieben. Es ist bekannt, dass  \begin{align*}    \angle A_1A_4A_7 & = \frac13 \angle A_7A_2A_5 = \frac14 \angle A_2A_5A_8 \\   & = \frac15 \angle A_5A_8A_3   = \frac16 \angle A_8A_3A_6  = \frac17 \angle A_3A_6A_1  \end{align*}   ist. Finde \(\angle A_6A_1A_4\).
6. Finden Sie den größten Wert, den der Ausdruck \(x + 7y\) annehmen kann, wenn wir wissen, dass \(x\) und \(y\) die Gleichung   \[ \sqrt{xy} + \sqrt{(1-x)(1-y)} = \sqrt{7x(1-y)} + \frac{\sqrt{y(1-x)}}{\sqrt{7}} \]  erfüllen.
7.  Gegeben ist ein gerades dreieckiges Prisma \(ABCA'B'C'\) mit den Grundflächen \(ABC\) und \(A'B'C'\), sowie der Seitenkanten \(AA'\), \(BB'\)  und \(CC'\). Durch die Punkte \(B\) und \(C\) geht eine Ebene, die das Volumen  des Prismas in zwei Hälften teilt. Diese Ebene schneidet die Gerade \(AA'\)  im Punkt \(D\). Finde das Verhältnis \(AA' : A'D\).

  

Russland 2017

Russland 2017. Viel Spaß.

1. Welche Zahl ist größer, \(\sqrt{\frac 67  + 7 + \frac76}\) oder \(3\)?
2. Es ist \(a + b + c = 5\) und \(ab + bc + ac = 4\). Finde \(a^2 + b^2 + c^2\).
3. Löse die Gleichung \(\sin(7x) + \sin(6x) = \sin(x)\).
4. Löse die Ungleichung  \[ x^2 \log^2_7 (x) + 3 \log^2_6 (x) \le x \log_7 (x) \cdot \log_6 (x^4). \]
5. Durch die Eckpunkte \(A\) und \(B\) des Dreiecks \(ABC\) wird ein Kreis gezeichnet, der die Geraden \(AC\) und \(BC\) berührt. Auf diesem  Kreis wird ein Punkt \(D\) gewählt (im Inneren des Dreiecks), der  Abstand \(\sqrt{2}\)  von der Geraden \(AB\) und  Abstand \(\sqrt{5}\)  von der  Geraden \(BC\) hat. Finde den Winkel \(\angle DBC\),  wenn  bekannt ist, dass \(\angle ABD = \angle BCD\) ist.
6. Wassili und seine Freunde haben beschlossen, ein Picknick zu machen. Dazu müssen sie von Punkt \(A\) den Fluss hinunter bis zum  Punkt \(B\) fahren, und sie haben zwei Boote zur Verfügung. Wassily  meldet sich freiwillig, um mit dem schnelleren Boot zum Punkt \(B\)  zu fahren und mit der Vorbereitung des Picknickplatzes zu beginnen.  Beide Boote fahren zur gleichen Zeit von Punkt \(A\) ab. Doch nach  acht Kilometern Fahrt bemerkt Wassili  Grigorij, der ihm am Ufer  zuwinkt. Grigorij bittet ihn, ihn zum Punkt \(C\) zu bringen. Obwohl  Wassili den Punkt \(C\)  bereits passiert hatte, willigt er ein.  Auf dem Weg zum Punkt \(C\)  treffen Wassili und Grigorij das zweite  Boot mit Wassilis Freunden, das ihnen entgegenkommt; die Freunde  rufen ihnen zu, dass sie ein Drittel des Weges zum Punkt \(B\)  zurückgelegt haben und dass Wassili nicht aufgehalten werden sollte.  Nachdem er Grigorij zum Punkt \(C\) gebracht hat, beeilt sich Wassili  sofort, seine Freunde einzuholen.  Finde die Entfernung zwischen den Punkten \(B\) und \(C\), wenn bekannt ist,  dass beide Boote gleichzeitig in \(B\) ankommen; die Geschwindigkeiten der Boote sind konstant, und Wassily hat sich in  der Tat nirgendwo aufhalten lassen.
7. Die Höhe \(DBC\) der Pyramide \(ABCD\) verläuft vom Scheitelpunkt \(D\)  zum Punkt \(H\) der Grundebene \(ABC\). Finde das Volumen dieser Pyramide,  wenn bekannt ist, dass die Flächen der Dreiecke \(HBC\), \(HAC\), \(HAB\)  jeweils gleich \(\frac29\), \(\frac13\) und \(\frac49\) sind, und dass alle  drei ebenen Winkel am Scheitelpunkt \(D\)  rechte Winkel sind.
8.   Lösen Sie das folgende Gleichungssystem:  \begin{align*}  \frac{x}{\cos(x^2 - y^2)} - y \tan(x^2 - y^2) & = \sqrt{\frac{\pi}2}, \\    \frac{y}{\cos(x^2 - y^2)} - x \tan(x^2 - y^2) & = \sqrt{\frac{\pi}3}.  \end{align*}

Russland 2016

Ich habe mir inzwischen eine ganze Reihe von Abituraufgaben aus Russland angesehen. Themen wie Analysis, Vektorgeometrie oder Stochastik kommen dort nicht vor. Stattdessen wird das, was man anderswo precalculus nennt, also Algebra, Geometrie und Trigonometrie, auf ein solides Fundament gestellt. 

Den Vorwurf eines fallenden Niveaus muss sich auch Russland gefallen lassen.  Die Aufgaben aus den Jahren 2016 und 2017 haben ein erschreckend hohes Niveau; die poplige Einstiegsaufgabe dürften die meisten noch hinbekommen, beim Rest sind auch unsere Lehrer überfordert (und nicht nur die). Die Aufgaben von 2021 dagegen sind kaum halb so schwer wie die von 5 Jahren zuvor; dennoch würden deutsche Abiturienten auch davor kapitulieren müssen. Das soll kein Vorwurf an die Abiturienten sein, sondern an die Verbrecher, die diese Situation zu verantworten haben.

Legen wir also los: Russland 2016. Bei den Geometrieaufgaben bin ich mir nicht sicher, ob die Übersetzung vollkommen korrekt ist, weil ich die nicht gelöst habe.

1. Finde \(f(\frac27)\) für \(f(x) = \frac{x}{1-x} + \frac37\).
2. Die Differenz zwischen der größten und der kleinsten Wurzel der Gleichung \(x^2 + ax - 6 = 0\) beträgt \(5\). Finden Sie alle möglichen Werte von \(a\).
3. Lösen Sie die Gleichung \(2 \cos^2 x + 3 \sin 2x = 4 + 3 \cos (2x)\).
4. Lösen Sie die Ungleichung \(\log_{1 - \log_3 x} (1 + \log_x^2 3) \le 1\).
5. Zwei Kreise berühren sich im Innern bei \(T\). Die Sehne \(AB\) des äußeren Kreises berührt den inneren Kreis in \(S\). Die Gerade \(TS\) schneidet den äußeren Kreis bei \(T\) und \(C\).  Finde den Flächeninhalt des Vierecks TACB, wenn wir wissen, dass  \(\overline{CB} = \overline{BT} = 3\) ist und die Radien der Kreise  verhalten  wie \(5:8\).
6. Um genau 9:00 Uhr fuhr ein Auto von Punkt A nach Punkt B. Nachdem es zwei Drittel der Strecke zurückgelegt hatte, bemerkte der aufmerksame  Fahrer, dass ein Radfahrer an ihm in Richtung A vorbeifuhr. Im selben   Moment, in dem das Auto bei B ankam, fuhr ein Bus von B nach A.   Nach zwei Dritteln der Strecke nach A stellt der aufmerksame Busfahrer fest, dass er mit dem Radfahrer gleichauf ist. Wann wird der Radfahrer  in Punkt A ankommen, wenn bekannt ist, dass der Bus genau um 11:00 Uhr  im Punkt A angekommen ist? Dabei nehmen wir an, dass die Geschwindigkeiten  des Radfahrers, des Autos und des Busses konstant gewesen sind.
7.  Gegeben ist eine Pyramide mit Spitze \(S\) und einem regelmäßigen  Sechseck ABCDEF mit Seitenlänge \(14\) als Grundfläche. Die Ebene \(\pi\) ist  parallel zur Kante \(AB\) und senkrecht zur Ebene \(DES\), und sie schneidet  die Kante BC im Punkt \(K\) so, dass \(\overline{BK} : \overline{KC} = 3:4\) ist.  Außerdem sind die Geraden, in denen \(\pi\) die Ebenen \(BCS\) und \(AFS\)  schneidet, parallel. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das  durch die Ebene \(\pi\) aus dem Dreieck \(CDS\) abgeschnitten wird.
8. Finden Sie den kleinsten Wert des Ausdrucks \[    \sqrt{106 + \log_a^2 \cos ax + \log_a \cos^{10} ax} \\  +      \sqrt{ 58 + \log_a^2 \sin ax - \log_a \sin^{ 6} ax}    \\  +  \sqrt{  5 + \log_a^2 \tan ax + \log_a \tan^{ 2} ax} \]  und alle Paare \((a,x)\), an denen das Minimum angenommen wird.

Herr Schneider erklärt die Welt.

 Nein, nicht Helge. Der Mathematiklehrer Schneider. Und nicht die ganze Welt, sondern nur die Zahlbereiche \(\mathbb N\), \(\mathbb Z\), \(\mathbb Q\) und \(\mathbb R\). 

Oder, wie es zwei Zeilen später heißt, die Zahlenbereiche:

Wer Oskar Perron kennt, erinnert sich an einen Brief, in dem er erklärt, warum der Begriff Zahlbereiche eigentlich ein Unsinn ist. Weil es so schön ist und weil ich als Lehrer ja einen gewissen Bildungsauftrag hatte, sei er hier zitiert:

Wissen Sie wohl, was ein Zahltag ist? Natürlich ist das der stets freudig begrüßte Tag, an dem gezahlt wird, im allgemeinen der Lohn für geleistete Arbeit. In diesem zusammengesetzten Wort hat nämlich die Silbe „Zahl“ gar nichts mit dem Begriff „Zahl“ zu tun, sondern es handelt sich um das Verbum aus (be) zahlen. Genauso ist es bei allen anderen Wörtern, die ebenso zusammengesetzt sind: Zahlkellner, Zahlkarte, Zahlmittel etc. Überall geht es ums bezahlen, also ums Geld, um das leidige, etwas anrüchige Geld, von dem man mit vorgehaltener Hand oder mit Augenzwinkern spricht.

Wer nun zum erstenmal das Wort Zahlkörper hört, denkt: Das wird halt auch so irgendein Körper sein, bei dem irgendwas bezahlt wird, das ist mir wurscht, interessiert mich nicht. Das Wort Zahltheorie werden sie wohl noch nicht gehört haben, ich auch nicht. Das müsste eine Theorie des Bezahlens sein, in der also etwa untersucht wird, wie man bezahlt, wenn man kein Geld hat. Die schöne Zahlentheorie, von der Sie sicher schon gehört haben, wäre also zur Pumpologie herabgewürdigt.

Das Wort Zahlkörper hat Hilbert eingeführt, der aufs Genaueste definiert hat, welchen Begriff er damit meint. Nur nach der Suche nach einem Namen ist ihm, wohl aus Versehen, ein Malheur passiert und so kam das verkorkste Wort auf die Welt, das man, wohl aus Ehrfurcht vor Hilbert, nie abgeschafft hat.

Oskar Perron war ein solider Mathematiker, der aber dem Zeitgeist, vor allem in der abstrakten Algebra, etwas hinterhergehinkt ist. Und wenn wir schon einen Brief zitieren, sei hier ein zweiter, geschrieben im Jahre 1940 an den Rektor der Ludwig-Maximilians-Universität München, ebenfalls zitiert:

Magnifizenz!

An der vom Herrn Reichsdozentenbundsführer Ministerialdirektor Professor Dr. Walter Schultze veranstalteten Feier der Dozentenbundsakademieen kann ich mich nicht beteiligen.

Grund:

Da ich weder Mitglied einer Dozentenbundsakademie noch überhaupt des Dozentenbundes bin, kann meine Beteiligung wohl nur in der Rolle eines wissenschaftlichen Ehrengastes gedacht sein. Nun bin ich aber Mitglied verschiedener deutscher wissenschaftlicher Akademieen, und gegenüber diesen Körperschaften und ihren Mitgliedern hat der Reichsdozentenbundsführer in der Festrede bei Gründung der Dozentenbundsakademie Kiel seiner Verachtung dadurch Ausdruck gegeben, dass er erklärte, die deutschen Akademieen hätten seit Leibniz wissenschaftlich nichts geleistet und seien heute nur als Gesellschaften von verkalkten wissenschaftlichen Veteranen anzusehen

Zweierlei ist denkbar. Entweder der Reichsdozentenbundsführer hat mit dieser geringen Einschätzung recht oder er hat nicht recht. Im ersten Fall kann es dem Reichsdozentenbundsführer gewiss keine Freude machen, unter seinen Ehrengästen so minderwertige wissenschaftliche Persönlichkeiten zu sehen; ich möchte ihm diesen Anblick, was meine Person anbelangt, jedenfalls ersparen. Im zweiten Fall kann es aber mir nicht zugemutet werden, Ehrengast bei einem Mann zu sein, der die Akademieen und ihre Mitglieder zu Unrecht derart verunglimpft hat, und vermutlich wehrlos zuzuhören, wenn die Ehrengäste abermals in der gleichen Weise verächtlich gemacht werden.

Heil Hitler !

O. Perron

Das haben sich seinerzeit nicht viele getraut.

Zurück zu Herrn Schneider. Der traut sich auch was. Denn er kann die Zahlbereiche anschaulich erklären. An einem Modell. Genauer: Am

Ohne Scheiß. Herrn Schneiders Spinat-Spiegelei-Modell funktioniert so:

Zum einen ist das bitter, dass man Gymnasiasten in NRW anhand eines Spinat-Spiegelei-Modells erklären muss, dass jede natürliche Zahl eine ganze Zahl ist. Zum andern hätte ich nicht wenig Lust, das in meinem Unterricht mal zu versuchen, wenn ich dabei die Gesichter meiner Schülerinnen filmen darf.

Die didaktischen Neuerungen sind noch nicht ganz vorbei. Oder hat jemand gemerkt, dass dies eine Aufgabe ist?

Sogar eine Aufgabe mit Lösung. Und zwar mit der hier:

In der Lösung ist das Spinat-Spiegelei-Modell zum Bratpfannenmodell mutiert, die Zahlbereiche sind wieder Zahlenbereiche, und die Zahl 3 liegt, wie es sich gehört, im Eigelb, während \(\sqrt{6}\) zwar auf dem Teller (also der Bratpfanne) liegt, aber nicht im Eigelb, im Eiweiß oder im Spinat.

So werden also schwierige mathematische Überlegungen durch den Transport in die Lebenswelt von Schülern und Schülerinnen auf ein Niveau heruntergebrochen, mit dem heutige Gymnasiasten etwas anfangen können.

Mein Leidensgenosse AR, der mir dieses Schuljahr eine Woche voraus ist, weist darauf hin, dass unter den Bearbeitern dieses Schulbuchs eine gewisse Kerstin Schäfer ist. Diese hat einen erstaunlichen Bildungsgang hinter sich:

Magisterstudium der Geschichte, der Archäologie des Mittelalters und der Neuzeit und der Denkmalpflege an der Otto-Friedrich Universität Bamberg; Zusatzqualifikation als Kulturmanagerin; zur Zeit Promotionsvorhaben am Lehrstuhl für Denkmalpflege in Bamberg über die Bauwerke der Eisenbahn in Oberfranken.

Ich hatte bisher immer gedacht, heutige Schulbuchautoren hätten in ihrem Mathematikstudium kaum aufgepasst und von dem, was sie mitbekommen haben, das wenigste verstanden. So kann man sich irren. Jetzt werden die Bücher schon von Frauen (die zweite ist Mathematiklehrerin Ulrike Willms) bearbeitet, deren mathematische Qualifikation über ein Abitur nicht hinausgeht.

Schade, dass wir in BW keine so tollen Schulbücher haben. In gewisser Weise ist das ganze ja Kunst. Expressionismus, wenn ich so tun wollte, als wüsste ich, was das ist. Daher die ganze Seite noch einmal als Gesamtkunstwerk:

Auch das muss noch gesagt werden: Wenn man \(\mathbb Q\) um alle Zahlen erweitert, die nicht als Bruch darstellbar sind (also um alle Zahlen, die nicht zu \(\mathbb Q\) gehören), dann erhält man so einiges, aber ganz sicher nicht die reellen Zahlen. Wer sich noch an die Schulbücher von vor 40 Jahren erinnern kann, sollte ahnen, dass die Konstruktion der reellen Zahlen (Intervallschachtelung) ganz so einfach wie heute in NRW nicht funktioniert.