Marokko II

Heute gibt es die zweite Aufgabe des 2021-Abiturs aus Marokko.

Wir betrachten eine auf \(\mathbb R\) definierte Funktion \(F\), die durch \[F(x) = \int_0^x e^{t-\frac{t^2}2}\, dt \] gegeben ist. 

• 1.a)  Bestimme das Vorziechen von \(F(x)\) in Abhängigkeit von \(x\) .
• b) Zeige, dass \(F\) auf \(\mathbb R\) differenzierbar ist und berechne die erste Ableitung \(F'(x)\).
• 2.a) Zeige durch partielle Integration, dass gilt: \[\int_0^1 F(x)\, dx = \int_0^1 (1-x) e^{x - \frac{x^2}2}\, dx. \]
• b) Berechne \(\int_0^1 F(x)\, dx .\)
• 3. Wir betrachten die durch  \[ u_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \Big( (n-k) \int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}}  e^{x - \frac{x^2}2}\, dx \Big)  \] für alle \( n \in \mathbb N \) definierte Folge \( (u_n)_{n \ge 1} \). a) Zeige, dass für alle \(n \in \mathbb N\) gilt: \[  u_n = \frac1n  \sum_{k=0}^{n-1}  (n-k) F\Big( \frac{k+1}{n} \Big) - \frac1n  \sum_{k=0}^{n-1}  (n-k) F\Big( \frac{k}{n} \Big).  \]
• b) Zeige, dass für alle \(n \in \mathbb N\) gilt: \[  u_n = \frac1n  \sum_{k=1}^{n}  F\Big( \frac{k}{n} \Big).  \]
• c) Folgere daraus, dass die Folge \( (u_n)_{n \ge 1} \) konvergiert und bestimme deren Grenzwert. 

Natürlich wird auch hier nur mit Wasser gekocht, aber die Speisekarte geht dann doch etwas über ein veganes Tofuwürstchen hinaus.

a) Weil der Integrand positiv ist, ist auch das Integral für \(x > 0 \) positiv. Weiter ist \(F(0) = 0\) und \(F(x) < 0 \) für alle \(x < 0 \). 

b) Weil der Integrand stetig ist, ist \(F\) differenzierbar, und es gilt \(F'(x) =  e^{x - \frac{x^2}2}. \)

2a) Partielle Integration einer Integralfunktion - nicht schlecht! Wir finden \[ \int_0^1 1 \cdot F(x)\, dx = x F(x) \Big|_0^1 - \int_0^1 x F'(x)\, dx = F(1) - \int_0^1 x  e^{x - \frac{x^2}2}\, dx \\ = \int_0^1  e^{x - \frac{x^2}2}\, dx - \int_0^1 x  e^{x - \frac{x^2}2}\, dx = \int_0^1 (1-x)  e^{x - \frac{x^2}2}\, dx. \]

2b) Jetzt ist \[ \int_0^1 F(x)\, dx = \int_0^1  (1-x)  e^{x - \frac{x^2}2}\, dx = e^{x - \frac{x^2}2} \Big|_0^1  = \sqrt{e} - 1 .\]

3a) Die erste Identität folgt, wenn man das Integral durch die Stammfunktion \( F \) ausdrückt. b) zeigt sich von alleine, wenn man weiß, wie Indexverschiebung bei Summen funktioniert. Die Konvergenz in c) liegt daran, dass die Summe eine Riemannsumme ist, die gegen das entsprechende Integral konvergiert; insbesondere ist \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \int_0^1   F(x)\, dx = \sqrt{e} - 1 .\]