Abituraufgaben aus Marokko

Viele nordafrikanischen Länder haben ihr Bildungssystem von Frankreich übernommen; wie bei den Franzosen gibt es dort verschiedene Spielarten des Abiturs, von S wie scientifique bis L wie Literatur.  Heute stelle ich hier die Einstiegsaufgabe von 2021 vor.

I. Wir betrachten die auf dem Intervall \(I = ] -\infty, 1[\) definierte Funktion \( f \)  mit \( f(x) = \ln(1-x) \). Sei C das Schaubild von \(f\) in einem kartesischen Koordinatensystem.

• (0,25) 1.a) Zeige, dass \( f \) stetig auf I ist .
• (0.25) b) Zeige, dass die Funktion \( f \)  auf I streng monoton fallend ist.
• (0,75) c) Berechne \(  \lim\limits_{x \to 1^-} f(x)\), \(  \lim\limits_{x \to - \infty} f(x)\),  \(  \lim\limits_{x \to 1^-} \frac{f(x)}{x}\).
• (0,5)   d)  Interpretiere diese Resultate am Schaubild C.
• (0,25) e) Zeichne die Monotonietafel. 

Bei 1.a) wird man, weil es dafür nur 0,25 P gibt, vermutlich nur schreiben müssen, dass \( f \) die aus

\(u(x) = \ln x \) und  \( v(x) = 1-x \) verkettete Funktion ist, und \(u\) und \(v\) stetig sind.

Bei b) wird man sich auf \(f'(x) = \frac1{x-1}\) berufen und feststellen, dass \( f'(x) < 0 \) auf I gilt.

Die Grenzwerte sind \(\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = -\infty \), \(\lim\limits_{x \to - \infty} f(x) = +\infty \)  und \(\lim\limits_{x \to 1^-} \frac{f(x)}{x} = 0\), weil \( x \) schneller wächst als der Logarithmus. Die ersten beiden Ergebnisse liefern die senkrechte Asymptote \( x = 1 \), das Wachsen über alle Grenzen für \(x \to - \infty \), wobei \(f \) viel langsamer wächst als linear. Die Monotonietafel ist hier banal, weil \(f \) auf ganz I streng monoton fällt.

• (0,25) 2. a) Zeige, dass das Schaubild C konkav ist.
•  (0,25)    b)  Skizziere C in einem kartesischen Koordinatensystem.
• (0,25)  3. a) Zeige, dass \(f \) eine Bijektion von I auf \( \mathbb R\) ist.  Sei jetzt \( f^{-1} \) die Umkehrfunktion von \( f \).
• (0,25)      b) Bestimme \( f^{-1}(x) \) für \(x \in \mathbb R\). 
• (0,25)      c) Zeige, dass \(f^{-1}(-1) = 1-e^{-1} \) ist.

Konkav ist das, was der deutsche Kindergarten am Gymnasium eine Rechtskurve nennt. Hier folgt 2.a)  aus \( f''(x) = - \frac1{(x-1)^2} < 0 \). Um zu zeigen, dass \(f \) bijektiv ist, muss man nachweisen, dass es injektiv und surjektiv ist. Injektivität folgt aus der strengen Monotonie, Surjektivität aus den Berechnungen der Grenzwerte von \(f\) für \(x \to - \infty\) und \(x \to 1\). Die Bestimmung der Umkehrfunktion ist einfach; man erhält \( f^{-1}(x) = 1 - e^x\) und damit \(f^{-1}(-1) = 1-e^{-1} \) .

Das war bisher nichts Weltbewegendes, aber doch wohltuend mathematisch. Kommen wir nun zu Teil II.

II. Für jedes reelle \( x \) und für jede natürliche Zahl \(n \ge 2 \) setzen wir

   \[ P_n(x) = x + \frac{x^2}2 + \ldots + \frac{x^n}n .\]

• (0,5) 1. Zeige, dass für jede natürliche Zahl \(n \ge 2 \) ein reelles \( x \in ]0, 1[ \)  existiert mit \(P_n(x) = 1. \)
• (0,5) 2. Bestimme die reelle Zahl \( \alpha = x_2\) und zeige, dass \(0 < \alpha < 1 \) gilt
• (0,5) 3.a) Zeige:    für jede natürliche Zahl \(n \ge 2 \)  gilt \(P_{n+1}(x_n) > 1 \).
• (0,5)    b) Folgere daraus, dass die dadurch definierte Folge \( (x_n)_{n \ge 2} \)  streng monoton fallend ist.
• (0,25)  c) Zeige, dass \(x_n \in\ ]0, \alpha [ \) ist für jede natürliche Zahl \(n \ge 2 \) .
• (0,25)  d) Zeige, dass die Folge \( (x_n)_{n \ge 2} \) konvergiert.
• 4. Für jedes reelle \( x \in I\) und jede  natürliche Zahl \(n \ge 2 \)  setzen wir \[ f_n(x) = f(x) + P_n(x) \].   (0,5) a) Zeige, dass für alle \( x \in I\) und alle \(n \ge 2\) gilt: \(f_n'(x) = - \frac{x^n}{1-x} \).
• (0,25) b) Zeige, dass  für alle \( x \in [0, \alpha] \) und alle \(n \ge 2\) gilt: \( |f_n'(x)| \le  \frac{\alpha^n}{1-\alpha} \).
• (0,5) Folgere daraus, dass  für alle  \( x \in [0, \alpha] \) und alle \(n \ge 2\) gilt:  \( |f_n(x)| \le  \frac{\alpha^n}{1-\alpha} \).
• (0,5) d) Zeige, dass für alle \(n \ge 2 \) gilt: \( |f(x_n)+1| \le  \frac{\alpha^n}{1-\alpha} \).
• (0,5)  e) Bestimme damit den Wert von \( \lim \limits_{x \to + \infty} x_n\). 

Gehen wir's an. Für 1 genügt die Beobachtung \(P_n(0) = 0\) und \(P_n(1) > 1\). Lösen der quadratischen Gleichung \(1 = P_2(x) = x + \frac{x^2}2 \) liefert \( x_2 = \sqrt{3} - 1\), und die Behauptung folgt wegen \(1 < \sqrt{2} < 2\). Offenbar ist \(P_{n+1}(x_n) = P_n(x_n) + \frac{x_n^{n+1}}{n+1} = 1 + \frac{x_n^{n+1}}{n+1} > 1\). 

Jetzt ist \(P_{n+1}(x_n) > 1\) und  \(P_{n+1}(x_{n+1}) = 1\); weil \( P_n \) streng monoton wächst, folgt daraus \(x_{n+1} < x_n\), d.h. die Folge \(( x_n )\) ist monoton fallend. Wegen \(x_2 = \alpha \) ist daher \(x_n \le \alpha\); weil auch \(x_n > 0\) ist, folgt \( x_n \in ]0, \alpha ]\). Weil die Folge \((x_n) \) monoton fällt und beschränkt ist, konvergiert sie.

In 4. Ist \[ f_n'(x) = f'(x) + P_n'(x) = \frac1{x-1} + 1 + x + x^2 + \ldots + x^{n-1} \]. Der hintere Teil ist eine geometrische Reihe mit Summe \( \frac{x^n-1}{x-1} \), folglich ist \[ f_n'(x) = \frac1{x-1} + \frac{x^n-1}{x-1}  = \frac{x^n}{x-1} = -\frac{x^n}{1-x} \] wie verlangt.

Für b) rechnet man nach, dass \( |f_n'(x)| \) streng monoton steigt, indem man zeigt, dass \( |f_n''(x)| > 0 \) ist. Dann folgt die Behauptung wegen  \( |f_n'(0)| = 0 \) und \( |f_n'(\alpha)| =  \frac{\alpha^n}{1-\alpha} \). 

Für c) braucht man eine Idee. Ich habe mir folgendes einfallen lassen:\[ |f_n(x)| = \int_0^x |f_n(t)|\, dt \le \int_0^x \frac{\alpha^n}{1-\alpha}\, dt = \frac{\alpha^n}{1-\alpha} \cdot x < \frac{\alpha^n}{1-\alpha} \] wegen \(0 < x < 1\). Dabei habe ich benutzt, dass \(f(x) \le 0 \) für  \( x \in [0, \alpha] \)  und damit \(|f(x)| = -f(x) \) ist.

Setzen wir \(x = x_n\) in \(f_n\) ein, erhalten wir \(f_n(x_n) = f(x_n) + P_n(x_n) = f(x_n) + 1 \). Also folgt aus c), dass \(| f(x_n) + 1| =  |f_n(x_n)|  < \frac{\alpha^n}{1-\alpha} \) ist.

Aus d) folgt, dass \( \lim_{n \to \infty} |f(x_n) + 1| = 0 \) ist, also \( \lim_{n \to \infty} \ln(1-x_n) = -1 \). Daraus folgt  \( \lim_{n \to \infty}  1 - x_n = e^{-1} = \frac1e \), indem man die Exponentialfunktion auf den Grenzwert anwendet (Stetigkeit!) und damit \( \lim_{n \to \infty}  x_n  = 1 - \frac1e \). 

Das war die erste Aufgabe von vieren; die anderen (A2: Integralfunktion; A3: komplexe Zahlen; A4: Kongruenzrechnung und kleiner Fermatscher Satz) hole ich bei Gelegenheit nach.