Wie man Algebra unterrichtet

 Heute schauen wir einem der Großen des Fachs über die Schulter: Reinhard Oldenburg, Vorsitzender der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik und Professor für Didaktik der Mathematik an der Universität Augsburg. Das ist eine Stadt, in der sich ja schon in der Vergangenheit Kritiker des Unendlichen hervorgetan haben. Herr Oldenburg hat unlängst erklärt, wie man Algebra unterrichtet.

How to teach algebra: A suggestion for a curriculum

Sein Aufsatz beginnt so: 

Both the need for algebra as a gateway to further applications of mathematics as well as the difficulties in teaching algebra are universally acknowledged.

"Universally acknowledged" ist vielleicht etwas übertrieben; ich kenne ein paar Schüler, die bestreiten, dass es sich bei der Algebra um ein Tor zu weiteren (was für weitere?) Anwendungen der Mathematik handelt. Aber wir wollen nicht kleinlich sein.

After characterizing what algebra is and how its structures can be described in a simply consistent manner, the paper goes on to develop a curriculum including concrete activities that intend to address issues of motivation, correctness, and sustainability.

Die  deutsche Sprache hat in den letzten Jahren, um es vorsichtig zu formulieren, an Attraktivität eingebüßt, weil sich ständig jemand beleidigt oder nicht repräsentiert fühlt und glaubt, allen anderen vorschreiben zu können,  wie dieser sich auszudrücken habe. Da ist es nur recht und billig, wenn man auch das Englische verhunzt. Etwa indem man ein Adverb hinschreibt, wo ein Adjektiv hingehört. 

Nach dem Abstract folgt die Introduction:

Algebra is usually seen as a key component of mathematics.

Nein! Doch! Oh! Aber Spott ist nicht angebracht, wenn ein großer Denker am Werk ist.

Especially it opens the door to further applications of mathematics, from calculus and geometry to statistics.

Noch einmal das Tor zu den Anwendungen. Kann man nicht oft genug sagen. Auch mit "especially" statt "in particular". Dass Algebra die Tür zur Geometrie öffnet, kann man glauben. Muss man aber nicht. Und Algebra, Analysis oder Geometrie sind keine Anwendungen von Mathematik, sondern Teilgebiete derselben. Aber irgendwie muss man seinen Artikel ja füllen.

It is essential in modelling mathematical concepts on a computer, ranging from spreadsheets to advanced programming languages and mathematics programs.

Man modelliert nicht Mathematik auf dem Computer, man modelliert mit Mathematik. Jedenfalls habe ich Didaktikerns bisher so verstanden. Und worauf bezieht sich der Nebensatz? Was reicht von excel-Tabellen zu fortgeschrittenen Programmiersprachen? Das Modellieren, die Konzepte, der Computer? Dunkel ist dieser Worte Sinn. 

Furthermore, algebra and is the prototype of a formalized part of mathematics and therefore a wide range of learning opportunities.

Man kann es mit der Verhunzung der Sprache natürlich auch übertreiben. Aber fehlende Verben vermindern das Verständnis dieser Zeilen nur unwesentlich. 

Nevertheless, this paper is written in English because in Germany there is hardly a change to deviate that much from the established curriculum and I hope that the paper may find some readers in the wider international audience.

Übersetzung: In Deutschland interessiert das kein Schwein, also publizieren wir das ganze in einer Sprache, die aussieht, als wäre sie Englisch.

Many of the examples given below are linked with computational thinking (CT, see Wing (2006), Wolfram (2020)). This is not by accident but reflects my double conviction that first CT is essential for our society and second, that algebra is in a sense a special form of CT. Therefore, there a lot of opportunities for mutual support of CT and algebraic thinking.

Algebra ist ganz bestimmt nicht eine besondere Form des algorithmischen Denkens. Umgekehrt ist die Algebra aus dem Rechnen durch Abstrahieren entstanden. Und es ist einigermaßen erstaunlich, wie viele der Oldenburgschen Sätze ohne Verben.

While algebra is important, its teaching faces several burdens:

Was hat der erste Teil des Satzes mit dem zweiten zu tun? Wäre Algebra leichter zu unterrichten, wenn sie unwichtig wäre?

Jedenfalls geht  Oldenburg jetzt daran zu erklären, was Algebra ist. Dafür wird es auch Zeit, denn man unterrichtet das ja schon seit Jahrhunderten.

One of the main difficulties of learners comes from the recursive structure of algebraic expressions. For elementary algebra, this language consists of formulae and expressions.

Algebraische Ausdrücke haben eine rekursive Struktur, und diese Sprache besteht aus Formeln und Audrücken. Wenn mir jemand Algebra so erklärt, habe ich auch meine Schwierigkeiten. Um seinen Lesern klar zu machen, was Algebra ist, greift Oldenburg richtig zu:

Das musste mal gesagt werden, damit alle wissen, wovon man redet. Schließlich lautet der Titel des Artikels "How to teach algebra: A suggestion for a curriculum".

Ich kenne mich mit der Geschichte der Algebra in den letzten 4000 Jahren leidlich aus, aber hier muss ich auch passen. Vor allem, weil Oldenburg die meisten Begriffe, die er hier verwendet, gar nicht definiert. Ein unleserliches Kauderwelsch, das hin und wieder durch Sprachwitz unterbrochen wird:

Function definition is written in schools as in this example: 𝑓(𝑥) = 2 ⋅ 𝑥 .

Funktion Definition ist in der Schule geschrieben wie in diesem Beispiel. Herrlich.

For theoretically minded readers, two further clarifications:

Vielleicht ist es ein Stilmittel, keine Verben. Ich springe jetzt auf Seite 7, wo es mit Lehrplänen und Schulbüchern weitergeht. Versprochen!

This section discusses two obstacles for the teaching of algebra. The first is unnecessary complexity and vagueness of concepts, the second is a lack of motivating applications.

Dass unnötige Komplexität eine Hürde für den Unterricht ist, hat Oldenburg auf den letzten Seiten förmlich zelebriert. Auch motivierende Anwendungen hat er keine gegeben, um so zeigen zu können, wie dies den Unterricht hemmt. Aber jetzt wird alles anders. Nur nicht sofort:

Algebra is complex, but not too complex as the basic concepts are valid over all expressions and Boolean expressions, as the preceding section has shown.

Algebra ist komplex, aber nicht zu komplex da die grundlegenden Konzepte über alle Ausdrücke und Boolesche Ausdrücke gelten, wie der vorhergehende Abschnitt gezeigt hat. Oder so ähnlich. Ich hatte mir, wenn ich ehrlich sein soll, unter Lehrplan und Schulbuch was anderes vorgestellt. Jedenfalls erläutert Oldenburg seine Probleme mit der sprachlichen Genauigkeit und offenbart, dass ihm der Unterschied zwischen Quadraten und vierten Potenzen nicht klar ist. 

Dann werden die Probleme mit der Motivation behandelt. Zu zählen, wie viele Leute an Vierertischen sitzen können, wenn n davon nebeneinander gestellt werden, ist jedenfalls nicht motivierend:

Why should 12 or 13-year-old kids be interested in this? For small number of tables, no formula is needed, and large number of tables are hardly authentic. The solution can hardly show kids that they learned something (forming expressions with variables) that is a big idea on which large parts of natural science and computer science rest.

Wohl wahr. Hier braucht man etwas aus der Lebenswelt der Schüler:

The analogous problem, e.g., of the number of hydrogen atoms in alkanes with 𝑛 carbon atoms is not yet known which eliminates one of the few relevant application areas.

Das ist in der Tat, doof, dass die 12-Jährigen noch keine Chemie kennen, Alkane hätten sie von der Algebra überzeugt! Und damit schreiten wir zum Lehrplan! Endlich!

The following description can, of course, not provide all details, but it should address all essential learning steps.

Alle wesentlichen Lernschritte in der Algebra, in nur einem Artikel. Die eierlegende Wollmilchsau der heutigen Didaktik also. 

I will assume that students had some introduction to arithmetic, including fractions. In most German curricula, this is reached during 6th grade. However, the handling of fractions needs not be trained very well, conceptual knowledge (e. g. basic mental models of fractions, e.g. Prediger, 2008) and some procedural fluency without perfection should enough.

Wer glaubt, dass man, um Algebra lernen zu können, die Bruchrechnung beherrschen sollte, hat die Rechnung ohne die moderne Didaktik gemacht. Ein Verweis auf Frau Prediger beweist jede Behauptung.

More important is some acquaintance to reason with numbers, e.g. understanding that a decimal number is divisible by 4 if the number formed from the last two digits is divisible by four because the example 9772=97*100+72 shows that every number can be decompose into a sum that is divisible by 4 and the rest that needs to checked.

Solche Sätze sieht man auch, wenn man Mathe-Abiturarbeiten korrigiert; ich bin sozusagen Fachmann für das Erraten dessen, was der Autor gemeint hat. Deshalb kann ich den obigen Absatz auch problemlos verstehen.  Jedenfalls geht es jetzt um die Einführung von Variablen in Klasse 7. Das Zauberwort dabei heißt Gamification. Man spielt. Etwa das Zerlegen der 20, falls man im Kleinen Einmaleins über 3 Mal 3 hinausgekommen ist:

Once this is understood, the game for the students is to work in pairs and come up with as many possibilities to express the given number and to document them. The team that finds most possibilities wins.

Da bleibt zu hoffen, dass die Siebtklässler weder negative Zahlen, noch Brüche kennen, sonst werden sie beim lebenslangen Zerlegen der 20 stehenbleiben. Schön zu sehen, dass die Schüler bei diesen Spielchen ganz ohne Klammern auskommen; es ist wichtig zu lernen, dass es auch ohne geht. Das ist in etwa wie das Schreiben nach Gehör: irgendwann kommt die Orthographie ganz von alleine.

At some time during the game when they are used to such notations they will be informed that only the left and right side of these boxes are needed and that they are bent to form parentheses: 3∙(4+5).Later on, they learn that some of them can be left out according to some rules.

"Bent to form parentheses"? Darauf haben mich meine Abi-Korrekturen nicht vorbereitet. Nicht, dass ich den Rest verstehen würde: "Man braucht nur die linke und die rechte Seite dieser Kästchen"? Und wo ist die Algebra?

The dynamic insertion of operations and operands into placeholders can also be exercised with much fun when using the Scratch programming language

Jetzt wird es Tag: die Kästchen sind Platzhalter, also Variablen, und eigentlich haben die Schüler nicht 20 = 5*(1+3) gerechnet, sondern a = b*(c+d). So leicht kann Algebra sein, wenn man das Ganze von einem Fachmann erklärt bekommt. Und damit die Schüler die Sache mit den Kästchen auch richtig verstehen, dürfen sie jetzt mit Programmiersprachen ihren Spaß haben. Danach kommt was über die Helligkeit von Pixeln (Lebenswelt!).

At coding time it may not yet been known how many edges the polygon shall have, so to formulate a general program, one needs to describe it symbolically. Scratch shows the variables live when the program is running

Haar will atmen! Und Variablen auch! This may not yet been known, aber jetzt schon! Algebra zu üben, indem man es den Rechner machen lässt, hat etwas. Und um die Ausdrücke noch besser zu verstehen, kann man sie mit mathematica in Klasse 7 in Baumform darstellen lassen:

Die Sparversion von mathematica gibt es ab 420 Euro. 

Students should understand that expressions can be built up recursively (by inserting templates into templates in scratch, by appending subtrees in expression trees), that using values for variables (i.e. applying an assignment) is substituting numbers for variables, and they should know that expressions with variables can describe general situations. Moreover, students should have gained insight that algebra gives them the ability to communicate in a precise way computational processes with humans and computers – and hopefully, this will result in motivation.

Das hoffen wir alle. Nach diesen Vorbereitungen sind die Siebtklässler reif für Klasse 8. Da bekommen sie ein Gummiband, um Mittelpunkte zu finden, und wenn sie das geschafft haben, können sie Mittelpunkte mit dem Programm FeliX bestimmen. Nach dem Herumspielen mit FeliX folgt die Einführung in ein richtiges Computer-Algebra-System:

Next, students are introduced to a computer algebra system. Although Geogebra has some CAS features, I strongly suggest using a mathematically more consistent system like Maxima, Maple or – if possible – Mathematica because these systems have a much simpler semantics that is closer to the theoretical considerations above.

Maple oder mathematica für Achtklässler. Schließlich kosten die an der Uni bekanntlich auch nichts, weil es da der Steuerzahler zahlt.

Some historical forms of notations may be discussed and alternative computer-based syntaxes like. The expression 2 ⋅ 𝑥 + 3 ⋅ 𝑎 ⋅ (𝑏 − 1) + 1 e.g. is represented in the revered polish notation language Forth as 2 𝑥 ⋅ 3 𝑎 ⋅ 𝑏 1 − ⋅ + 1 + and in polish notation language Lisp as (+ (∗ 2 𝑥) l∗ 3 𝑎 (− 𝑏 1)m 1). It may be surprising that it is possible to have a notation that need no brackets at all!

Da kann ich Herrn Oldenburg beruhigen: Es überrascht die wenigsten Schüler, dass man ganz ohne Klammern auskommen kann.  Und wer hat noch nichts von der verehrten polnischen Notation gehört? 

Damit ist auch die Algebra in Klasse 8 abgehakt. In Klasse 9 kann man mit den bisher erlernten Kompetenzen aus dem Satz des Pythagoras den Höhensatz und den Kathetensatz herleiten lassen:

Man muss nur noch 420 Euro ausgeben, die Formeln in mathematica eintippen, und schon kann man Algebra. Auch mit Polynomen kann man herumspielen:

Things to discover are, e.g. that the roots of one polynomial are also roots of the same polynomial when multiplied with another polynomial and that the roots are invariant under expanding the polynomial expression.

Ich bin mir sicher, dass Herr Oldenburg damit etwas sagen wollte. Ansonsten kann man in Klasse 9 noch Cantors Überabzählbarkeit der reellen Zahlen besprechen. Da würde ich ihm raten, das erst einmal bei seinen Kollegen an der University of Applied Science in Augsburg auszuprobieren. In Klasse 10 gibt es endlich Funktionen:

Up to now, functions have not been introduced. Instead, students worked with expressions (in which values or more general expressions can be inserted) and functional relations such as 𝑦 = √𝑥 .

Warum lineare und quadratische Funktionen, die man in Klasse 7 und 8 behandelt, wenn man nicht mit scratch, feliX, maple oder mathematica herumspielt, keine Funktionen sind, weiß ich nicht. Jedenfalls sind Funkionen wichtig, wenn man mit einem CAS das Volumen eines Zylinders berechnen will:

If you have a relation like that for the volume of a cylinder 𝑉 = 𝜋 ⋅ ℎ ⋅ 𝑟" in a CAS and you want to calculate the volume of a specific cylinder you must type a lot of code, e.g. Pi*h*r^2/.{h->3,r->2}. It would be easier if one could write something like CylVol(3,2).

Jetzt wo er's sagt seh ich's auch. Das ist wie mit dem Ei des Kolumbus: Wenn die Idee erst einmal da ist, ist alles ganz einfach.

 Damit sind wir mit dem Algebra-Lehrplan durch - weiß Gott, wo wir niederen Lehrer damit Schwierigkeiten haben. Eine Moral hat der Artikel auch:

Dienst am Kunden: Ich überlasse die Schlussfolgerung nicht meinen Lesern.

           Ceterum censeo didacticam esse delendam.