Freitag, 29. November 2019

Basisfach Mathematik Nachtrag

Eine Kleinigkeit habe ich das letzte mal vergessen: Auf S. 28 wird die Aufgabe gestellt, man möge die Funktionen u und v bestimmen, für die f(x) = (x+2)2 = u(v(x)) ist, und dann anschließend f(x) = v(u(x)) bestimmen. Sehen wir einmal darüber hinweg, dass die zweite Gleichung g(x) = v(u(x)) lauten muss, dann bleibt zu konstatieren, dass der bestimmte Artikel hier vollkommen fehl am Platze ist. Man kann nämlich jede Funktion f als Verkettung von u und v schreiben, indem u(x) = f(x) und v(x) = x setzt; oder u(x) = f(2x) und v(x) = x/2, oder . . . Insbesondere kann man auch g(x) = v(u(x)) nicht bestimmen, weil diese Funktion wesentlich von der Wahl von u und v abhängt. Auch Aufgabe 6 ist unsinnig, weil dort ebenfalls die innere und die äußere Funktion bestimmt werden muss.

Weil man die Verkettung zweier Funktionen durch die Verkettung zweier Termbausteine "definiert" hat, muss man sich anscheinend auch keine Sorgen um irgendwelche Definitionsbereiche machen. Dass die Verkettung zweier Funktionen, etwa f(x) = u(v(x)) für u(x) = ln(x) und v(x) = - x2 - 1, unter Umständen gar keine anständige Funktion ist, scheint jenseits des mathematischen Horizonts der Autoren zu liegen.

Kommentare:

  1. Seite 43, "Fragen, die im Laufe eines mündlichen Abiturs gestellt werden könnten":

    "Beschreiben Sie, wie Sie aus dem Graphen einer Ableitungsfunktion den Graphen der Funktion rekonstruieren können."

    Meine Antwort: Gar nicht -- es sei denn, der Graph der Ableitungsfunktion ist die leere Menge; dann ist der Graph der Funktion ebenfalls die leere Menge.

    "Was sagt die Ableitung an einer Stelle des Graphen einer Funktion aus?"

    Meine Antwort: Keine Ahnung, was mit der "Ableitung an einer Stelle des Graphen" gemeint ist. Ich kann Ihnen aber erklären, was die Ableitung einer Funktion f an einer Stelle x ihres Definitionsbereichs über das Verhalten des Graphen von f nahe dem Punkt (x,f(x)) aussagt.

    "Beschreiben Sie an einem konkreten Beispiel, was man unter der Verkettung einer Funktion versteht."

    Meine Antwort: Präzisieren Sie bitte die Frage, so dass sie einen Sinn ergibt. Meinen Sie die Verkettung einer Funktion mit sich selbst? Oder mit was sonst?

    "Führen Sie ein Beispiel für einen Funktionsterm an, den man mit der Produktregel ableiten kann, bei dem man die Produktregel aber auch umgehen kann."

    Meine Antwort: sin(x)*1. Das kann man mit der Produktregel ableiten. Man kann aber auch direkt die Ableitung von sin(x) bilden.

    "Führen Sie ein Beispiel für einen Funktionsterm an, den man mit der Kettenregel ableiten kann, bei dem man die Kettenregel aber auch umgehen kann."

    Meine Antwort: sin(x). Das kann man als sin(f(x)) mit f(x)=x interpretieren und mit der Kettenregel ableiten. Man kann aber auch direkt die Ableitung bilden.

    "Warum fällt das absolute Glied, also der Teil eines Terms, der mit keinem x verknüpft ist, beim Ableiten weg?"

    Meine Antwort: Ich nehme mal an, mit "Teil" meinen Sie "Summand", und "der mit keinem x verknüpft ist" soll heißen "in dem das Symbol x nicht vorkommt". Geht es um die Beschreibung einer Funktion in der Form "f:D->R mit f(x)=...."? Wenn man nämlich "f:D->R mit f(t)=sin(t)" nimmt, dann kommt kein "x" vor, die Ableitung ist aber trotzdem nicht 0. Also, wie war Ihre Frage gemeint?


    Die restlichen Fragen sind auch nicht viel besser. Ich kann nur hoffen, dass so ein Mist nicht wirklich in einer Abiturprüfung gefragt wird.

    Bei der ersten Frage bin ich mir nicht sicher, ob die Autoren meine Antwort als korrekt werten würden. Falls nicht, sind sie noch hoffnungslosere Fälle, als ich eh schon vermute.

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  2. Dem ist wenig hinzuzufügen außer einigen Kommentaren zur Präzision der mathematischen Fachsprache im Schulunterricht, wie sie heutzutage gepflegt wird. Dazu mehr in Kürze.

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  3. Ein letzter Kommentar von mir zur Leseprobe.

    Seite 41, Aufgabe 1: [Die Abbildung zeigt die Graphen zweier Funktionen f und g; die x-Achse ist anders skaliert als die y-Achse. Bis auf Unschärfe der Abbildung ist g auf dem Intervall [-3,5; 3,75] durch g(x)=cos(2x) gegeben, und f ist auf dem Intervall [-1,694; 1,694] durch f(x)=-x^4+2x^2 gegeben.]

    c) "Entscheiden Sie begründet, welcher der angegebenen Terme zum Graphen der trigonometrischen Funktion passt: f_1(x)=sin(x), f_2(x)=cos(x), f_3(x)=sin(x+pi), f_4(x)=cos(x-pi)."

    Ich nehme an, dass ein Term T(x) zum Graphen einer Funktion f:D->R "passt", soll bedeuten, dass f(x)=T(x) für alle Elemente x von D gilt. Die Formulierung "welcher" in der Aufgabenstellung scheint implizit die Behauptung aufzustellen, dass genau einer der angegebenen Terme diese Eigenschaft hat. Offensichtlich "passt" jedoch keiner zum Graphen von g, denn g ist die Einschränkung einer Funktion mit minimaler Periode pi, die Funktionen f_i haben aber alle die minimale Periode 2pi. Vermutlich haben sich die Autoren mit ihrer Achsenskalierung selbst ausgetrickst.

    Nun möchte ich die Autoren ausnahmsweise einmal loben:

    d) "Skizieren Sie den ungefähren Verlauf des Produkts der beiden Funktionen f und g sowie den von dessen Ableitungsfunktion."

    Sehen wir davon ab, dass erstens "skizieren" mit einem "z" zu wenig geschrieben ist. Und dass man zweitens das Produkt zweier Funktionen nur dann bilden kann, wenn beide denselben Definitionsbereich haben; wir aber die Funktion f nur auf einem viel kleineren Bereich kennen als die Funktion g. Nehmen wir also an, die Aufgabe wäre so gestellt, wie sie vermutlich gemeint ist:

    "Die Funktion h: [-1,6; 1,6] -> R sei durch h(x) = f(x)g(x) definiert. Skizzieren Sie den ungefähren Verlauf des Graphen von h und des Graphen der Ableitung h'."

    Dies ist endlich mal eine Aufgabe, die ich einigermaßen sinnvoll finde. Ich fände sie noch viel sinnvoller, wenn man die Abbildungsvorschrift von f nicht so einfach erraten könnte und daher die Ableitung nicht ausrechnen könnte, sondern wirklich am Graphen von h ablesen müsste. Mit solchen Aufgaben kann man tatsächlich testen, ob die Schüler den Ableitungsbegriff verstanden haben.

    Die Aufgabenteile e) und g) sind wieder der übliche Unsinn, bei dem man irgendetwas auf mehrere Weisen tun soll. Falls nicht eine präzise Definition gegeben wurde, wann zwei Lösungswege/Vorgehensweisen als verschieden gelten, wird durch solche Aufgaben nie ein mathematisches Verständnis getestet, sondern immer nur die Fähigkeit, die krausen Gedankengänge der Fragesteller erraten zu können. ("Was will der Spinner, der diese Aufgabe gestellt hat, wahrscheinlich von mir hören?") Ich wette meine linke Niere darauf, dass keine solche präzise Definition gegeben wurde. Als Schüler hätte ich immer darauf bestanden, dass das direkte Berechnen der Ableitung einer Funktion f einerseits und das Berechnen der Ableitung von 1*f mit der Produktregel andererseits zwei verschiedene Arten der Berechnung sind.

    Aufgabenteil g) ist besonders sinnlos, weil die drei Nullstellen völlig offensichtlich sind. Wenn man eine Aufgabe zur näherungsweisen Berechnung von Nullstellen stellen möchte, dann doch sinnvollerweise mit einem Beispiel, in dem man keine offensichtliche Formel für die Nullstellen angeben kann.

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