Russland 2016

Ich habe mir inzwischen eine ganze Reihe von Abituraufgaben aus Russland angesehen. Themen wie Analysis, Vektorgeometrie oder Stochastik kommen dort nicht vor. Stattdessen wird das, was man anderswo precalculus nennt, also Algebra, Geometrie und Trigonometrie, auf ein solides Fundament gestellt. 

Den Vorwurf eines fallenden Niveaus muss sich auch Russland gefallen lassen.  Die Aufgaben aus den Jahren 2016 und 2017 haben ein erschreckend hohes Niveau; die poplige Einstiegsaufgabe dürften die meisten noch hinbekommen, beim Rest sind auch unsere Lehrer überfordert (und nicht nur die). Die Aufgaben von 2021 dagegen sind kaum halb so schwer wie die von 5 Jahren zuvor; dennoch würden deutsche Abiturienten auch davor kapitulieren müssen. Das soll kein Vorwurf an die Abiturienten sein, sondern an die Verbrecher, die diese Situation zu verantworten haben.

Legen wir also los: Russland 2016. Bei den Geometrieaufgaben bin ich mir nicht sicher, ob die Übersetzung vollkommen korrekt ist, weil ich die nicht gelöst habe.

1. Finde \(f(\frac27)\) für \(f(x) = \frac{x}{1-x} + \frac37\).
2. Die Differenz zwischen der größten und der kleinsten Wurzel der Gleichung \(x^2 + ax - 6 = 0\) beträgt \(5\). Finden Sie alle möglichen Werte von \(a\).
3. Lösen Sie die Gleichung \(2 \cos^2 x + 3 \sin 2x = 4 + 3 \cos (2x)\).
4. Lösen Sie die Ungleichung \(\log_{1 - \log_3 x} (1 + \log_x^2 3) \le 1\).
5. Zwei Kreise berühren sich im Innern bei \(T\). Die Sehne \(AB\) des äußeren Kreises berührt den inneren Kreis in \(S\). Die Gerade \(TS\) schneidet den äußeren Kreis bei \(T\) und \(C\).  Finde den Flächeninhalt des Vierecks TACB, wenn wir wissen, dass  \(\overline{CB} = \overline{BT} = 3\) ist und die Radien der Kreise  verhalten  wie \(5:8\).
6. Um genau 9:00 Uhr fuhr ein Auto von Punkt A nach Punkt B. Nachdem es zwei Drittel der Strecke zurückgelegt hatte, bemerkte der aufmerksame  Fahrer, dass ein Radfahrer an ihm in Richtung A vorbeifuhr. Im selben   Moment, in dem das Auto bei B ankam, fuhr ein Bus von B nach A.   Nach zwei Dritteln der Strecke nach A stellt der aufmerksame Busfahrer fest, dass er mit dem Radfahrer gleichauf ist. Wann wird der Radfahrer  in Punkt A ankommen, wenn bekannt ist, dass der Bus genau um 11:00 Uhr  im Punkt A angekommen ist? Dabei nehmen wir an, dass die Geschwindigkeiten  des Radfahrers, des Autos und des Busses konstant gewesen sind.
7.  Gegeben ist eine Pyramide mit Spitze \(S\) und einem regelmäßigen  Sechseck ABCDEF mit Seitenlänge \(14\) als Grundfläche. Die Ebene \(\pi\) ist  parallel zur Kante \(AB\) und senkrecht zur Ebene \(DES\), und sie schneidet  die Kante BC im Punkt \(K\) so, dass \(\overline{BK} : \overline{KC} = 3:4\) ist.  Außerdem sind die Geraden, in denen \(\pi\) die Ebenen \(BCS\) und \(AFS\)  schneidet, parallel. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das  durch die Ebene \(\pi\) aus dem Dreieck \(CDS\) abgeschnitten wird.
8. Finden Sie den kleinsten Wert des Ausdrucks \[    \sqrt{106 + \log_a^2 \cos ax + \log_a \cos^{10} ax} \\  +      \sqrt{ 58 + \log_a^2 \sin ax - \log_a \sin^{ 6} ax}    \\  +  \sqrt{  5 + \log_a^2 \tan ax + \log_a \tan^{ 2} ax} \]  und alle Paare \((a,x)\), an denen das Minimum angenommen wird.