Russland 2021

Jetzt also zum "einfachen" Abi 2021. Auch hier keine Garantie für die korrekte Übersetzung der Geometrieaufgaben.

1.  Ermitteln Sie die natürliche Zahl, die durch den Ausdruck \[ \Big( \frac{25}{16} \Big)^{-\frac12} + \frac{\log_3(9^3)}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{15}} \] gegeben ist.
2. Dobrynya ist eineinhalb Mal älter als Aljoscha und eineinhalb Mal jünger als Ilya. Wie alt ist  Dobrynya, wen Ilya 20 Jahre älter ist als Alyosha?
3. Lösen Sie die Gleichung \(\sin x - \cos 2x + \sin 3x = 1\).
4. Lösen Sie die Ungleichung  \[ \log_2 x + \log_2 3 \cdot \log_x 3 + \log_{\sqrt{2}} 3 < 0. \]
5. Ein konvexes Achteck \(A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8\) ist einem Kreis einbeschrieben. Es ist bekannt, dass  \begin{align*}    \angle A_1A_4A_7 & = \frac13 \angle A_7A_2A_5 = \frac14 \angle A_2A_5A_8 \\   & = \frac15 \angle A_5A_8A_3   = \frac16 \angle A_8A_3A_6  = \frac17 \angle A_3A_6A_1  \end{align*}   ist. Finde \(\angle A_6A_1A_4\).
6. Finden Sie den größten Wert, den der Ausdruck \(x + 7y\) annehmen kann, wenn wir wissen, dass \(x\) und \(y\) die Gleichung   \[ \sqrt{xy} + \sqrt{(1-x)(1-y)} = \sqrt{7x(1-y)} + \frac{\sqrt{y(1-x)}}{\sqrt{7}} \]  erfüllen.
7.  Gegeben ist ein gerades dreieckiges Prisma \(ABCA'B'C'\) mit den Grundflächen \(ABC\) und \(A'B'C'\), sowie der Seitenkanten \(AA'\), \(BB'\)  und \(CC'\). Durch die Punkte \(B\) und \(C\) geht eine Ebene, die das Volumen  des Prismas in zwei Hälften teilt. Diese Ebene schneidet die Gerade \(AA'\)  im Punkt \(D\). Finde das Verhältnis \(AA' : A'D\).