Russland 2017

Russland 2017. Viel Spaß.

1. Welche Zahl ist größer, \(\sqrt{\frac 67  + 7 + \frac76}\) oder \(3\)?
2. Es ist \(a + b + c = 5\) und \(ab + bc + ac = 4\). Finde \(a^2 + b^2 + c^2\).
3. Löse die Gleichung \(\sin(7x) + \sin(6x) = \sin(x)\).
4. Löse die Ungleichung  \[ x^2 \log^2_7 (x) + 3 \log^2_6 (x) \le x \log_7 (x) \cdot \log_6 (x^4). \]
5. Durch die Eckpunkte \(A\) und \(B\) des Dreiecks \(ABC\) wird ein Kreis gezeichnet, der die Geraden \(AC\) und \(BC\) berührt. Auf diesem  Kreis wird ein Punkt \(D\) gewählt (im Inneren des Dreiecks), der  Abstand \(\sqrt{2}\)  von der Geraden \(AB\) und  Abstand \(\sqrt{5}\)  von der  Geraden \(BC\) hat. Finde den Winkel \(\angle DBC\),  wenn  bekannt ist, dass \(\angle ABD = \angle BCD\) ist.
6. Wassili und seine Freunde haben beschlossen, ein Picknick zu machen. Dazu müssen sie von Punkt \(A\) den Fluss hinunter bis zum  Punkt \(B\) fahren, und sie haben zwei Boote zur Verfügung. Wassily  meldet sich freiwillig, um mit dem schnelleren Boot zum Punkt \(B\)  zu fahren und mit der Vorbereitung des Picknickplatzes zu beginnen.  Beide Boote fahren zur gleichen Zeit von Punkt \(A\) ab. Doch nach  acht Kilometern Fahrt bemerkt Wassili  Grigorij, der ihm am Ufer  zuwinkt. Grigorij bittet ihn, ihn zum Punkt \(C\) zu bringen. Obwohl  Wassili den Punkt \(C\)  bereits passiert hatte, willigt er ein.  Auf dem Weg zum Punkt \(C\)  treffen Wassili und Grigorij das zweite  Boot mit Wassilis Freunden, das ihnen entgegenkommt; die Freunde  rufen ihnen zu, dass sie ein Drittel des Weges zum Punkt \(B\)  zurückgelegt haben und dass Wassili nicht aufgehalten werden sollte.  Nachdem er Grigorij zum Punkt \(C\) gebracht hat, beeilt sich Wassili  sofort, seine Freunde einzuholen.  Finde die Entfernung zwischen den Punkten \(B\) und \(C\), wenn bekannt ist,  dass beide Boote gleichzeitig in \(B\) ankommen; die Geschwindigkeiten der Boote sind konstant, und Wassily hat sich in  der Tat nirgendwo aufhalten lassen.
7. Die Höhe \(DBC\) der Pyramide \(ABCD\) verläuft vom Scheitelpunkt \(D\)  zum Punkt \(H\) der Grundebene \(ABC\). Finde das Volumen dieser Pyramide,  wenn bekannt ist, dass die Flächen der Dreiecke \(HBC\), \(HAC\), \(HAB\)  jeweils gleich \(\frac29\), \(\frac13\) und \(\frac49\) sind, und dass alle  drei ebenen Winkel am Scheitelpunkt \(D\)  rechte Winkel sind.
8.   Lösen Sie das folgende Gleichungssystem:  \begin{align*}  \frac{x}{\cos(x^2 - y^2)} - y \tan(x^2 - y^2) & = \sqrt{\frac{\pi}2}, \\    \frac{y}{\cos(x^2 - y^2)} - x \tan(x^2 - y^2) & = \sqrt{\frac{\pi}3}.  \end{align*}