Eingangstests

 An der Uni Paderborn lässt man Studienanfänger seit einigen Jahren vor Beginn des Studiums eine Eignungsprüfung schreiben:

Die Eignungsprüfungen in den allgemeinbildenden Fächern Deutsch,  Englisch und Mathematik müssen von Studienbewerbern, die keine allgemeine  Hochschulreife erworben haben und keine beruflich qualifizierte Bewerber gem. Berufsbildungshochschulzugangsordnung sind, abgelegt werden, um zum  Studium an der Universität Paderborn zugelassen zu werden. 

Gedacht sind diese Prüfungen also für Schüler, welche nach Klasse 11 vom Gymnasium abgegangen sind und (zumindest in BW) ganz ohne jegliche Abschlussprüfung eine Hochschulzugangsberechtigung erworben haben.

Dass die Studienanfänger immer schlechter werden, ist eine Sache. Eine ganz andere ist, dass die Eignungsprüfungen mathematisch so miserabel sind, dass man sich in Grund und Boden schämen müsste.  Ich will im Folgenden die offensichtlichsten Schwächen der Eignungsprüfung Mathematik (Klausur 1 im Sommersemester 2021) an der Universität Paderborn aufzeigen.

Zu erwähnen ist hierbei, dass die Didaktiker in Paderborn mit Berufung auf das Urheberrecht ein Video von Bernhard Krötz auf youtube haben sperren lassen, in dem es um eine solche Klausur ging. Das ist insofern rechtlich nicht in Ordnung, weil das Urheberrecht nicht greift, wenn man keine intellektuelle Leistung erbracht hat. 

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•  (2 Punkte)  Geben Sie drei irrationale Zahlen an.

  Gerne: \(\sqrt{2}\),   \(\sqrt{2}\) und  \(\sqrt{2}\).  Drei verschiedene gefällig?  \(\sqrt{2}\),   \(2\sqrt{2}\) und  \(3\sqrt{2}\) .

 Eine sinnlose Frage, wenn der Student nicht weiß, wie er diese Behauptung beweisen kann. Offenbar geht es nicht um Verständnis, sondern um die Kenntnis von Fakten, die man nicht versteht. Eine sehr gute Vorbereitung auf ein MINT-Studium.

 Was ich mich auch frage: Wie viele Punkte gibt es für (e^\pi\)?  Oder für \(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\)?  

•  (1 Punkt) Drücken Sie die Menge aller reellen Zahlen ohne  \(-3\) und \(7\) in der Mengenschreibweise aus.

 Da muss man schon zwei Mal lesen, um zu verstehen, dass es um die Menge der reellen Zahlen ohne  \(-3\) und \(7\) geht und nicht darum, die Menge der reellen Zahlen in der Mengenschreibweise darzustellen, ohne  \(-3\) und \(7\) zu benutzen. Über den Sinn der Übung mögen sich andere streiten.

• (2 Punkte) Geben Sie den Definitionsbereich und Wertebereich der natürlichen Exponential- sowie Logarithmusfunktion an.

 Was für ein Blödsinn. Natürlich weiß ich, was gemeint ist: Man soll die maximale Teilmenge von \(\mathbb R\) angeben, auf denen \(f(x) = e^x\)  und \(g(x) = \ln x\) definiert sind (also den maximalen Definitionsbereich, wie man ihn von der Schule her vielleicht kennt) und die dazugehörigen Wertebereiche. Trotzdem sollte der  Aufgabensteller wissen, wonach er fragt; die Exponentialfunktion lebt ja auch auf \(\mathbb C\) und sogar auf Matrizen \ldots; wäre es da nicht besser zu fragen, auf welches der maximale reelle Definitionsbereich einer Funktion wie \(\frac{x}{x-1}\) ist?

 Auch hier fragt man sich, wie viele Studenten, die den Wertebereich von  \(g(x) = \ln x\) kennen, auch begründen können, warum das so ist.  Vermutlich niemand.  Aber man kann ja mal danach fragen.

• (1 Punkt) Beschreiben Sie eine Faustregel, wie man visuell die Stetigkeit einer Funktion überprüfen kann.

Die Stetigkeit einer Funktion kann man visuell nicht überprüfen. Den Blödsinn mit zeichnen, ohne abzusetzen kann man schon bei Funktionen wie \(f(x) = \frac1x\) und allgemein bei allen Funktionen, die auf den natürlichen Zahlen definiert sind, vergessen.

 Es ist mir ein Rätsel, warum man hier nach Dingen fragt, die auf der  Schule gar nicht mehr thematisiert, geschweige denn definiert werden.

• (2 Punkte) Die Ableitung einer Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) definiert man als die _________  der ____________ im Punkt \((x_0; f(x_0))\) des Graphen von \(f\).

Großer Gott. Das sieht jetzt so aus, als wollten die hören, dass die Ableitung einer Funktion als die Steigung der Tangente an deren Schaubild definiert ist. Kann man natürlich machen, wenn man die Tangente an  das Schaubild einer Funktion anders als über die Ableitung definiert. Wie viele Schüler haben so eine Definition gesehen, und in wie vielen  Schulbüchern wird das so gemacht? Und wie viele Didaktiker in Paderborn wissen, wie das geht?

• (1 Punkt) Was bedeutet lineare Unabhängigkeit bei 2 Vektoren?

 Es bedeutet bekanntlich, dass die Gleichung \(r \vec{a} + s \vec{b} = \vec{0}\) nur die Lösung \(r = s = 0\) hat. Aber vermutlich ist das nicht, was die Leute gerne gehört hätten.

• (1 Punkt) Was bedeutet, dass eine Funktion monoton steigend bzw. monoton fallend ist.

 Da fehlt entweder der Hauptsatz oder ein Fragezeichen am Ende, und  eigentlich auch noch ein Subjekt wie ``es'' nach ``bedeutet'', aber das ist noch das Wenigste. Auch hier gehe ich jede Wette ein, dass  die erwartete Antwort nichts mit \(x < y \implies f(x) < f(y)\) oder  dergleichen zu tun hat, sondern irgendwas mit positiver oder negativer  Ableitung. Was wieder Blödsinn ist, weil die Funktion weder auf einem  Intervall definiert oder differenzierbar zu sein braucht, wenn man das  nicht explizit fordert. Und selbst wenn die Funktion auf einem Intervall  definiert ist, ist die Frage, wie Monotonie mit der Ableitung zusammenhängt,  eine sehr schwierige. 

•  (1 Punkt) Besitzt jede lineare Funktion eine Nullstelle? Begründen Sie.

 Noch so eine Fangfrage. Ist die Funktion \(f(x) = x\) mit Definitionsbereich \(\mathbb D = [1, 2]\) linear? Oder wollen sie darauf hinaus, dass man auf der  Schule \(y = 1\) eine lineare Funktion nennt? Man weiß es nicht.

 A propos ``Begründen Sie'': Wenn das eine Aufforderung sein soll, fehlt ein Ausrufezeichen. Und ``Begründen Sie'' was? Anständiges Deutsch sollte an Universitäten kein überflüssiger Luxus sein, den

  man sich manchmal gönnt und manchmal nicht.

• (2 Punkte) Visualisieren Sie zeichnerisch, was man unter der Dreiecksungleichung versteht.

 Vermutlich meinen sie die Dreiecksungleichung der elementaren Geometrie und nicht etwa die Ungleichung \(|x+y| \le |x| + |y|\) für reelle Zahlen. Im ersten Falle ist die Sache banal. Und dass man etwas zeichnerisch visualisieren soll ist nicht weiter überraschend, weil das rechnerisch zu visualisieren vielleicht etwas schwierig ist.

•   (4 Punkte) Denken Sie an eine 2-mal differenzierbare Funktion \(f: {\mathbb R} \longrightarrow {\mathbb R}\). Skizzieren Sie jeweils \(f(x)\), \(f'(x)\) und \(f''(x)\).

 Warum sollte ich an eine 2-mal differenzierbare Funktion denken? Vermutlich soll ich sie auch im Kopf behalten, damit ich weiß, was ich bei der Aufgabe skizzieren soll. Eine schräge Formulierung . . .

  

Die schulischen Korinthenkacker geben sich alle Mühe, zwischen Funktionen \(f\), Funktionstermen \(f(x)\) und dem Schaubild einer Funktion \(f\) zu unterscheiden; schön, dass man das an Universitäten nicht mehr so eng sieht.

  

Skizzieren ist natürlich leicht, insbesondere wenn man an die Funktion \(f(x) = 0\) gedacht hat. Dafür hat man 4 Punkte verdient.

• 2.c) \(h(x) = (x-3)(x+1)\frac12 x\)

Es gibt viele Möglichkeiten, Funktionsterme aufzuschreiben, aber \(h(x) = (x-3)(x+1)\frac12 x\) ist eine, die ich einem Mathematiker nicht zutrauen würde. Man schreibt ja, aus guten Gründen, auch nicht \(y = x2\).

•  3.a) (4 Punkte) Formen Sie die folgende Gleichung nach \(x\) um und bestimmen Sie, für welches \(x \in \mathbb R\) die folgende Gleichung gilt:  \[ \frac{\sqrt[3]{(x+3^2)^3}}{6} + \frac{\sqrt{243}}{\frac{\sqrt{3}}2} = e^0. \]

 Da hätte mich interessiert, wie viele das hinbekommen haben. Bis ich  festgestellt habe, dass die Studenten bei dieser Klausur einen Taschenrechner benutzen dürfen, weil weiter unten ein Winkel mit Hilfe trigonometrischer Funktionen zu bestimmen ist. Mit TR ist diese lineare Gleichung (!) aber banal.

• (3 Punkte) Bestimmen Sie \(x \in \mathbb R\) mittels quadratischer Ergänzung und geben Sie den Scheitelpunkt an: \( x^2 + 2x - 8 = 0.\)

  Gleichungen haben keinen Scheitelpunkt.

• (3 Punkte) Bestimmen Sie den Flächeninhalt, den folgende Funktion mit der \(x\)-Achse im Intervall \([-2, 3]\) einschließt:

Funktionen schließen keinen Flächeninhalt mit der \(x\)-Achse ein. Die Schaubilder schließen eine Fläche ein (jedenfalls wenn die Funktion anständig ist), und diese Fläche hat womöglich einen Inhalt. Bei c) nochmal dieselbe Schlamperei.

•  (3 Punkte) Geben Sie die fehlenden Werte in der Tabelle an:

\( F(x) \)	\( e^{-2x} \)	\( \ln(7x) \)	\( \sin^2(x)\)
\(f(x)\)

Schön wäre es, wenn man wüsste, dass \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist und man daher ableiten soll. Es sind also keine Funktionswerte (und  schon gar keine Werte) gesucht, sondern Funktionsterme.

• (2 Punkte) Stellen Sie die Gleichung der Geraden \(g\) auf, die durch die Punkte \(A(2;1;4)\) und \(B(-\) 
   \(2;3;-4)\) geht.

Korrekturlesen hätte eine Trennung nach dem Vorzeichen von \(-2\) vielleicht verhindert. Vielleicht aber auch nicht. Und es gibt viele mögliche  Gleichungen der Geraden; es hätte also ``eine Gleichung'' heißen sollen.

• Die Größe der Bakterienkolonie Beta kann durch folgende Funktion \(\beta: \mathbb R \longrightarrow  \mathbb R\) mit        \[ \beta(t) = 800 \cdot \Big(1 + \frac{20}{100}\Big)^t \]

         beschrieben werden, wobei \(t\) in Tagen seit Beginn der Untersuchung des Teiches.

Heutzutage Sätze keine Verben mehr. In welcher Einheit die Größe gemessen wird, steht auch nicht da, dafür wird danach gefragt:

•  (3 Punkte)  Beschreiben Sie, wofür die Parameter \(800\), \(1\) und \(\frac{20}{100}\) in der Gleichung \(\beta\) stehen.

Zum einen ist \(\beta\) keine Gleichung, sondern eine Funktion. Zweitens  bin auch ich überfragt, wenn ich beschreiben soll, wofür der Parameter \(1\) hier steht. Außer wenn die Antwort ``Der Parameter \(1\) steht für  die \(1\)'' die richtige sein sollte.

•  (5 Punkte) Bestimmen Sie den Zeitraum in dem sich die Größe von Kolonie Alpha verdoppelt hat.

Zuerst einmal fehlt da ein Komma. Dann sollte der Zeitraum, damit man den bestimmten Artikel benutzen kann, einen Anfangspunkt haben, weil es sonst ``ein'' Zeitraum ist. Am besten fragt man gleich nach der Zeit, in welcher sich die Größe verdoppelt. Und 5 Punkte für die Lösung der Gleichung \(1,6^t = 2\) zu vergeben ist nett.

•  Ein Flugzeug landet am Flughafen in Tokio. Zur Zeit \(t = 0\) ist es im Punkt \(P(5000|-3000|600)\). Man simuliert die Flugbahn durch  eine Gerade \( \vec x  = \bigl(\begin{smallmatrix} 5000 \\ -3000 \\ 600 \end{smallmatrix} \bigr) + r  \bigl(\begin{smallmatrix} 60 \\ 60 \\ -30 \end{smallmatrix} \bigr)\) }  (\(r > 0\) in Sekunden, alle Angaben in Metern).

Simulanten, wo man hinguckt. Gemeint ist natürlich modelliert.

Die Zeit \(t\) hat in der Gleichung von \(g\) die Bezeichnung \(r\);  kann man machen, wenn Verwirrung das Ziel ist. Dass die \(x_3\)-Koordinate die Höhe über dem Boden ist, muss man ja auch erraten. Und was die Einheiten angeht, sind die Angaben im Richtungsvektor nicht in Metern, sondern in Meter pro Sekunde angegeben. 

  

Das Flugzeug, dessen Bahn hier simuliert wird, setzt mit \(30\) m/s Vertikalgeschwindigkeit auf und muss 5 Sekunden vor der Landung ein 200 m hohes Hochhaus überfliegen (auf Wikipedia kann man ein Bild des Flughafens von Tokio sehen - so wie es aussieht muss man schließen, dass die Japaner Hochhäuser auf dem Wasser bauen können; Teufelskerle!). Wer rechnen kann: das Flugzeug fällt mit \(108\) km/h auf die Landebahn. Böse Menschen würden bedauern, dass es nicht mit Didaktikern besetzt war.

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Inhaltlich war da fast nichts dabei, was ein guter Schüler nach Klasse 10 nicht hinbekommen sollte. Zum Bestehen braucht man jedenfalls deutlich weniger als ein Abitur: Da kann man aus G8 noch G7 oder gar G6 machen, bevor die Luft zum Studieren in Paderborn zu dünn wird. Wobei das an anderen deutschen Universitäten inzwischen wohl ähnlich aussehen dürfte: Man nimmt, was man kriegen kann.